數學分析若干定理的推廣

趙明 李東瑋

摘要：利用有限覆蓋定理得到一個形式相似但對原定里中閉集的有界性不再要求的推論.以及閉區間的逆定理、聚點定理的逆定理。

關鍵詞：有限覆蓋；有界閉集；閉區間套定理；聚點定理

中圖分類號：O151.21

有限覆蓋定理是數學分析中基礎性定理，本文給出有限覆蓋定理的推論.在推論中不再要求被覆蓋的閉集有界.以及閉區間套定理、聚點定理的逆定理。并通過對文獻[1]Caratheodory定理的證明過程分析，適當推廣了Caratheodory定理的適用范圍。另外通過推廣Toeplitz數表得到了另外一種形式的Stolz定理。

實數理論是數學分析的基礎，海涅波萊爾有限覆蓋定理、維爾斯特拉斯聚點定理、閉區間套定理分別刻畫了實數集的連續性。文獻[1]給出了海涅波萊爾有限覆蓋定理的逆定理，受此啟發本文探索了閉區間套定理、維爾斯特拉斯聚點定理的逆定理。并給出了有限覆蓋定理的另外一種形式，該種情形不再要求被覆蓋的集合是有界的僅要求是閉的。

1預備知識

以下命題來自文獻[2].

2結論

下面給出有界閉集套定理的逆定理：

定理2.2F為中非空子集，若對任一子集族：都有，則F閉，有界。

證：先證F閉。

設是F的極限點，則存在F中的互異點列

取

……

從而

，顯然x0∈∩

SymboleB@ k=0Fk

再證有界性。

反證.若F無界。不妨設F無上界，對都有，使得

取F中點列如下：

，，...

顯然，且，取，則這與已知條件矛盾，故F有界。

將此定理適當修改可推廣至n維空間。

聚點定理的逆定理：

定理2.3若中非空子集F的任一無限子集至少有一個極限點則F有界.

證：反證。

若F無界，

則對使得取，

然而F中的無限子集無極限點。這是因為。

為湊齊刻畫實數集連續性的幾大定理的逆定理特附上以下定理，該定理及其證明來自文獻[1]。

定理2.4設FRn，若F的任一覆蓋都包含有限子覆蓋則F是有界閉集。

證明：設y∈Fc，則對于任一x∈F，存在δx>0使得鄰域：

U（x，δx）∩U（y，δx）=。

顯然，{U（x，δx）：x∈F}是F的一個開覆蓋。由題目已知條件知存在有限子覆蓋，不妨設為：

U（x1，δx1），U（x2，δx2），…，U（xn，δxn）

令δ=max{δx1，δx2，…，δxn}，取M=[δ]+1，則對于任一x∈F有x

SymbolcB@ nM。有界性證畢。

再令δ0=min{δx1，δx2，…，δxn}，則F∩U（y，δ0）=，即yF'，因此F是閉集。

以下將Caratheodory定理中對集合G的要求從開集減弱為一般集合，相應地對集合E適當增加條件。

Caratheodory定理[1]：

GRn，G≠Rn，G為開集，EG.令Ek={x∈E：d（x，Gc）1k}，（k=1.2...）

則limkm*（Ek）=m*（E）

改進為：

定理2.5：GRn，G≠Rn，EG，m*（E）=0，m*（Gc∩E）=0

令Ek={x∈E：d（x，Gc）1k}，（k=1.2...），

則limkm*（Ek）=m*（E）

證明：顯然limkm*（Ek）

SymbolcB@ m*（E），為證

反向不等式假設limkm*（Ek）<

SymboleB@

令Ak=Ek+1/Ek，（k=1.2...），易知d（A2j，A2j+2）>0，（j=1.2...）再注意∪k1j=1AjE2k得：

m*（E2k）m*（∪k1j=1Aj）=∑k1j=1m*（A2j）

從而∑

SymboleB@ j=1m*（A2j）<

SymboleB@ ，同樣可得∑

SymboleB@ j=1m*（A2j+1）<

SymboleB@ 。令F{x∈E：d（x，Gc）=0}，V{E的孤立點}。對任意k有：

E=E2k∪（∪

SymboleB@ j=kA2j）∪（∪

SymboleB@ j=kA2j+1）∪（E）∪F∪V

其中m*（F）+m*（V）+m*（E）=0，從而：

m*（E）

SymbolcB@ m*（E2k）+∑

SymboleB@ j=km*（A2j）+∑

SymboleB@ j=km*（A2j+1）

令k→

SymboleB@ 得：

∑

SymboleB@ j=km*（A2j）=0，∑

SymboleB@ j=km*（A2j+1）=0

m*（E）

SymbolcB@ limkm*（Ek）

證畢

在文獻[3]中第二章的Toeplitz數表也有進一步推廣的空間。介紹如下：

定義：由無窮正數構成的三角形數表

t11

t21t22

t31t32t33

tn1tn2…tnn

表（1）

滿足條件：（1）∑nk=1tnk=1，n∈N（2）k∈N，limn→

SymboleB@ tnk=0

條件1在[3]中Stolz定理的引理證明中并未起關鍵作用，將其推廣為表（1）中任意有限個元素之和有一致的界。

定理2.6設tnk是一個如上推廣的Toeplitz數表，an是無窮小數列，設bn=∑nk=1tnkak，n=1，2，...，則limn→

SymboleB@ bn=0

證明：設M為Toeplitz數表中條件（1）的上界。對于ε>0，N1∈N，使得當k>N1，

有ak<ε2M，對這個N1存在N2∈N，使得當n>N2時有tn1a1+…+tN2an<ε2，標記：

N3=max{N1，N2}，于是當n>N3時：

bn

SymbolcB@ tn1a1+…+tnnan<ε2+ε2MM=ε

證畢

下面以推廣后的Toeplitz數表做出類Stolz定理：

定理2.7數列Cn滿足：Cn>0，M∈R，M>0，Cn

limnynyn1cn=a則limn（xnyn）=a

證：做推廣的Toeplitz數表

tnk=ckxn，k=1.2....

un=ynyn1cn，

vn=∑

SymboleB@ k=1tnkuk=∑

SymboleB@ k=1ckxnykyk1ck=xnyn

因此limnynyn1cn=limn（xnyn）=a

參考文獻：

[1]周民強.實變函數論[M].北京：北京大學出版社，2008.

[2]周民強.實變函數解題指南[M].北京：北京大學出版社，2010.

[3]張筑生.數學分析新講第一冊[M].北京：北京大學出版社，1990.

作者簡介：趙明，男，河南警察學院基礎部，研究方向為泛函分析；李東瑋，男，河南警察學院基礎部，博士，研究方向為高能物理。