對第二類曲面積分的一種有效計算方法的探討

張曉蓉 崔周進

摘要：第二類曲面積分的計算是高等數學中的一個難點。在教學過程中，教師往往更強調利用二重積分和高斯公式來計算第二類曲面積分，從而忽視了更有效的計算方法。此方法主要從兩類曲面積分的關系出發，通過實現它們之間的轉化，達到簡化計算的目的。

關鍵詞：第二類曲面積分；計算公式；投影區域

第二類曲面積分（即對坐標的曲面積分）的計算是高等數學中的一個重難點。書上給出了兩種基本方法，不再贅述。下面介紹一種更有效的計算方法。此方法主要是利用第一類曲面積分與第二類曲面積分的關系來實現兩種曲面積分之間的轉化，從而達到簡化計算的目的。

設S為光滑曲面，α、β、γ分別為S上的指定法線方向與x軸，y軸及z軸正向的夾角，若P、Q、R為S上的連續函數，則

（*）

例：計算 ，其中，S是x2+y2+z2=α2的外側。

[解]球面外側法向量，方向余弦為，，，由（*）式得

[注]此題可化為二重積分來計算，但不如上法簡潔。

例：設f（x， y， z）為連續函數，S為平面x-y+z=1在第四卦限部分的上側，求

[解]被積函數中含有抽象函數，不好直接計算；又為平面x-y+z=1在第四卦限部分，其法向量的方向余弦是定值，因此可以考慮利用（*）式進行轉化。

平面S上側任一點法向量的方向余弦為，，，則

通過（*）式，一方面可以把對坐標的曲面積分轉化為對面積的曲面積分，簡化計算，如上面兩個例題；另一方面還可以推導出以下很有用的公式。

當曲面S由方程z=z（x， y）給出時，有

從而dydz=-zxdxdy，dzdx=-zydxdy，則

（S為上側取正，下側取負）

這樣本來是對三個坐標面的積分，現在就轉化為對xOy這一個坐標面的積分，計算量大大減少。

類似地還可以把 轉化為僅對yOz面或zOx面上的積分。在做題時，到底應該轉化到哪個坐標面上呢？一要看曲面S的方程，看可以寫成z=z（x， y）、y=y（x， z）、x=x（y， z）三種形式中的哪一個；二要看S在哪個坐標面上的投影區域比較簡單、規則，因為轉化之后，最終是要計算一個二重積分。

總之，從第一類曲面積分與第二類曲面積分的關系出發，對于第二類曲面積分，我們可以把它化為第一類曲面積分計算，也可以化為對一個坐標面的積分，使計算得到簡化。而且還可以推廣到一般的曲面方程，應用更加廣泛。

參考文獻：

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