關于小波分析在凸輪廓線反求去噪中的研究

歐杰

摘 要 凸輪廓線反求時，測量噪聲嚴重影響了反求的精度和廓線的光順等方面。利用小波分析，選用合適的參數可有效去除噪聲。通過把五次多項式疊加白噪聲作為原始的凸輪廓線含噪信號，應用MATLAB軟件進行去噪試驗仿真，得出了凸輪廓線反求信號小波去噪的一般步驟和重要參數的選取方法。

關鍵詞 小波分析；凸輪反求；去噪

前言

凸輪反求時，無論是采用接觸式還是非接觸式的數據獲取，都不可避免地在真實數據點中混有不合理的噪聲，嚴重影響凸輪廓線擬合精度、曲線光順等反求的后續環節，所以必須對噪聲進行去除。

傳統的傅立葉變換只能分別從時域或頻域分析信號，不能給出信號在某個時間點上的頻率變化情況，不適合非平穩信號的去噪。小波分析具有多分辨率分析的特點，是一種窗口大小固定但形狀可變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法，在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，被譽為分析信號的顯微鏡[1]，特別適用于實際應用中常見的非穩定信號。

1 小波去噪的方法和步驟

小波去噪方法，從大的方面來說可以分為四類[2]：①基于小波變換模極大值原理去噪：去噪性能較為穩定，可有效地保留信號的奇異點信息，特別適合低信噪比的信號去噪；但存在小波系數重構的問題，計算量大，且分解層數的選擇對去噪效果影響很大。②基于相關性原理去噪：適合高信噪比信號去噪，在分析信號的邊緣方面具有優勢；但計算量較大，需要進行多次迭代，還需估計噪聲方差才能設定適當的閾值。③Donoho等提出的閾值方法：計算量最小，噪聲幾乎完全得到抑制，且反映原始信號的特征尖峰點可得到很好的保留。但在信號的不連續點處，去噪后會出現偽吉布斯現象；閾值的選取對去噪效果有很大的影響，且閾值的選取方法很多，需根據具體情況選取合適的閾值。④平移不變量小波去噪：是閾值法的改進，可有效地去除閾值去噪中的偽吉布斯現象，缺點是計算速度沒有閾值法快。凸輪廓線反求時，噪聲較小，且廓線是連續的，綜合比較后我們采用閾值去噪法進行去噪。

噪聲，特別是隨機噪聲，從頻譜上看是一種具有較高頻率的信號，去噪的目的就是通過一定的方法去除這類信號。凸輪廓線反求信號的小波閾值去噪過程一般可分為三步[3]：

（1）信號的小波分解：選擇合適的小波基函數和分解層數對信號進行小波分解。小波分析具有多分辨率特性，其多分辨分析只對低頻部分進行進一步分解，而高頻部分則不予考慮，使頻率的分辨率越來越高。分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近平方可積函數空間的正交小波基，這些分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。

（2）小波分解高頻系數的閾值量化處理：對各個分解層數下的高頻系數選擇一個閾值進行閾值量化處理。MATLAB軟件中有硬閾值和軟閾值兩種閾值函數。硬閾值法可以保留信號的特征，但會產生附加振蕩，光滑性差；軟閾值法得到的小波系數整體連續性好，去噪信號相對平滑，不會產生附加振蕩。我們采用軟閾值法進行去噪試驗仿真。

（3）信號的小波重構：根據小波分解的低頻系數和經量化處理后的各層高頻系數進行一維小波重構，可由MATLAB軟件提供的合成重構函數實現。

2 去噪仿真試驗分析

凸輪廓線反求時，測量噪聲一般都集中在真實信號附近，采用五次多項式疊加白噪聲：

作為原始的凸輪廓線含噪信號，式（1）中x表示含噪信號，t為時間序列，e（t）為白噪聲。應用MATLAB軟件進行去噪試驗仿真，采用信噪比SNR（signal to noise ratio）、均方根誤差RMSE（root mean square error） [4]和相當于凸輪線輪廓度誤差的峰值誤差PE（peak error）作為去噪評價指標。SNR值越大，RMSE和PE值越小，去噪效果越好。

2.1 分解層數的選擇

噪聲具有一定的頻帶寬度，存在于一定范圍的尺度參數的分解結果中。分解層數與含噪信號的信噪比SNR有關，且分解層數越大，越有利于信噪分離；但分解層數越多，重構誤差也越大。故須選擇合適的分解層數，既保證噪聲得到盡可能多的去除，又要使計算量最少。對式（1）進行五層小波分解，選用不同的分解層數，采用sym3函數啟發式閾值軟閾值小波自動去噪。結果表明，分解層數取1時去噪效果最好。

2.2 小波基函數的選擇

小波去噪時基函數的選擇具有多樣性，選用不同的小波基函數會產生不同的去噪結果，所以對凸輪廓線反求信號去噪時，必須選擇最優小波基。但最優小波基的選擇問題仍是小波分析應用的一個世界性的難點，目前還沒有統一的選取準則，基本上是根據小波基函數形狀與去噪信號形狀的相似度及仿真結果對比選取。通過對各種小波的性質比較，選取不同的小波基函數進行一層小波分解，采用啟發式閾值軟閾值去噪，各去噪效果如表1所示，結果表明，sym3基函數去噪效果最好。

2.3 閾值的選取

小波去噪的三個步驟中，最關鍵的就是如何選取閾值和如何進行閾值的量化處理，在一定程度上直接關系到凸輪廓線去噪的質量。MATLAB軟件給出了四種閾值選擇方法[5]：固定閾值、自適應閾值、啟發式閾值和極大極小閾值。當信號只有少量的高頻系數位于噪聲范圍內時，極大極小閾值和自適應閾值不任意丟失真實信號成分，可以將弱小的信號提取出來。另外兩種閾值選取準則則可以更有效地去除噪聲，但有可能將有用信號的高頻部分當作噪聲除去。選用不同閾值，分解層數取1，采用sym3小波基函數軟閾值小波去噪，各去噪效果如表2所示，結果表明，自適應閾值和啟發式閾值去噪效果一樣，但啟發式閾值是一種折中的選擇，故選取啟發式閾值去噪。

選擇sym3小波基函數、分解層數取1及使用啟發式閾值軟閾值去噪信號與原始含噪信號比較，局部放大圖如圖1所示，其中實線表示含噪信號，虛線表示小波去噪信號，可以看出，利用小波分析可以有效去除噪聲。

3 結束語

在凸輪廓線反求信號的小波去噪處理中，選用不同的去噪方法、小波基函數、分解層數、去噪閾值和閾值量化方法都直接影響著信號去噪處理的質量。通過對五次多項式疊加白噪聲作為原始的凸輪廓線反求含噪信號，應用MATLAB軟件進行去噪試驗仿真，得出了小波去噪的一般步驟和重要參數的選取方法。當對不同凸輪廓線信號去噪時，只須比較不同參數的去噪效果，選擇最佳去噪參數，便可高精度的實現凸輪廓線反求。

參考文獻

[1] 吳瑞蘭.小波閾值去噪的性能分析及基于能量元的小波閾值去噪方法研究[D].杭州：浙江大學，2003.

[2] 李奇敏.小波技術在反求工程中的若干應用[D].杭州：浙江大學，2006.

[3] 飛思科技產品研發中心.小波分析理論與MATLAB7實現[M].北京：電子工業出版社，2005：17-23.

[4] 潘洋宇.面向逆向工程的小波技術研究與應用[D].南京：南京理工大學，2006.

[5] 胡廣書.現代信號處理教程[M].北京：清華大學出版社，2004：31.