換元法在常微分方程中的應用

摘 要：換元法又叫變量代換法。這是一種被廣泛應用于解決常微分方程中問題的常用方式。主要是利用新的變量代替原來方程中的變量，由難化簡，把無法解決的問題轉化為能解決問題，快速求出方程解的一種解題思想。換元法的運用對數學研究領域有著至關重要的意義，使得求出的解更加簡便快速，是解決高等數學理論和方法的重要工具之一。因此，我們對通過討論齊次方程和一階常微分方程的換元思想進行求解，重點總結和概括換元法在常微分方程中的應用。

關鍵詞：換元思想；常微分方程；應用求解

中圖分類號O175 文獻標識碼：A 文章編號：1004-7344（2018）11-0040-02

在我們的生活中，無論是哪個研究領域，都有許許多多的問題需要被解決。我們一般在解決問題時，會對問題先進行假設，在此基礎上在進行合理分析，將其轉化，利用數學方法進行解決。當然，在數學領域也是同樣的道理。換元法就是采用數學方法解決數學問題的有效方法之一，其實質是轉化變量，關鍵是構造新的元素和假設元素，依據等量代換值不變的原理，通過變量代入，將原方程由繁變簡，化難為易，實現從未知向已知的轉化，從而達到解決問題的目的。

換元思想無論是在初等數學階段和是高等數學領域都是十分重要的，常在代數中被用于求導、求最大值和最小值等。在微分方程中也常常被用于求齊次方程、一階齊次微分方程和一次隱性微分方程的解。因此，為了探討出換元法在常微分方程中的應用，本文將通過換元法在齊次方程、一階齊次微分方程和隱性微分方程中的應用，重點總結常微分方程中的換元思想，從而進一步為我國數學研究學者提供有力的借鑒依據。

1 換元法的相關定義

1.1 換元法的基本概念和注意事項

用新的變量（未知量）代替方程中的舊變量（未知量），運用已知的數學方法求出新的變量（未知量），引入到原方程中，在借用替代關系求出原方程中的變量（未知量）的方式，叫做輔助元素法，又稱之為換元法或者變量代換法。其中在方程里新的那個未知量被稱為輔助元素，簡稱輔助元或構造元。

利用換元法首先要對構建的新元特別注意，在換元前，要尤其注意新元的適用范圍和限制條件，引入適當的代換，可找到較為簡便的解題方法，從而更加快速的求出方程的解。在換元后，必須要對新元進行檢驗，確保換元正確，不會影響計算結果。

1.2 換元的基本思想

（1）我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新元范圍的選取，新元的取值范圍要與原方程中自變量的取值范圍相同，不能過大也不能過小。如上幾例中的t>0和α∈[0，]。

（2）可以先采用觀察的方法，從原方程中找出與換元法相似的未知量，用自己喜歡的字母進行標注，將微分方程進行計算，如果計算的結果中也同樣含有這個字母，就將它代入方程中，也可求出方程的解。

計算流程：

構造元→求解→代入方程→檢驗。

轉換變量等量代換等量關系。

2 常微分方程的相關定義

2.1 常微分的概念

在微分方程中，未知函數只與一個自變量有關的方程式被稱為常微分方程。

2.2 常微分的階

微分方程中，出現的未知量的最高階導數的階數，一般被稱為是階。主要有以下幾種形式：

dy/dx=2x…一階。

x2y+xy-4y'=3x…二階。

由于常微分方程的未知量只有一個，所以一般它的階只有一個，主要形式為：dy/dx=2x。

2.3 一階常微分方程的形式

y'=f（x，y）或f（x，y，y'）=0

2.4 常微分方程計算的注意事項

（1）微分方程的通解不一定包含它的所有解，有些特殊解不包含在通解中。

（2）利用初等方法（初等積分法）求解微分方程，通常要進行乘除因式的變形，因此可能產生增解與失解，嚴格的說必須充分考慮，但是在高等數學（非數學專業）中主要為了強調方程歸類解法，通常不苛求同學如此嚴密解題，目的是突出方法，簡化過程。

3 換元法在齊次方程中的應用

當一階微分方程轉化為dy/dx=？準（y/x）的形式時，被稱為是常微分方程的齊次方程。

設u=y/x，則y=xu

dy/dx=u+x（dy/dx）

將其代入齊次方程中，可得：

u=x（du/dx）=？準（u）

x（du/dx）=？準（u）-u

借助分離變量，換元，可得du/？準（u）-u=dx/x。

兩邊同時積分，可得出一個關于u和x的函數關系式，將u替換成y/x的形式，則可求出方程的解。

例子1：求方程dy/dx=y/x+tan（y/x）

設將u=y/x，dy/dx=x（du/dx）+u代入原方程中，

得x（du/dx）=u+tanU

化簡后得：du/dx=tanu/x（1）

將上式分離變量后可得：cotudu=dx/x（2）

將（2）兩邊同時積分得：2n|sinu|=in|x|+e（e可以是任意常數）

整理后得：sinu=±e×x

令±e=c，則sinu=cx

會出現以下兩種情況當tanu=0時，sinu=0（3）；當c=0時，sinu=0（4）。

（4）滿足（3）的條件，所以原方程的通解為sin（y/x）=cx。

4 換元法在一階線性方程中的應用

在微分方程中出現的未知函數及未知函數的導數的指數為一次的方程被稱為一階線性方程。

如：dy/dx+xy2=sinx是一次階線性方程。

一次階的線性方程的形式為dy/dx=P（x）y+QX

在解決一次階線性方程時，要進行分類討論：

當Q（X）等于0時，dy/dx+p（x）y=0，是它的齊次線性微分方程。

當Q（X）不等于0時，dy/dx+p（xy），不是齊次線性微分方程。

現要求一次階線性方程，先根據dy/dx+p（x）y=0的解，求dy/dx+p（xy）的值。

換元得：dy/y=-p（x）→in|y|=-fp（x）dx+c→|y|=e-fp（x）dx+c→y=ce-fp.（x）dx（c=±ec），采用常數變換法，進行下一步的操作：

設y=ue-|p（x）dx，u=u（x）

則dy/dx=du/dx（e）-|p（x）dx-up（x）e|

代入上式中得，du/dx=Q（x）e{p（x）dx+c}

y=e-|-p（x）dx{|Q（x）e|dx+c}

例子2：求解方程dy/dx=y+sinx。

解：因為原式是一個齊次線性方程，且通解為y=cex。

可得，該方程的通解為dy/dx=cex。

常系數非齊次線性微分方程的通解=常系數齊次線性微分方程的通解+常系數非齊次線性微分方程的的一個特解。

例如：y'+y=1（1）

（1）的齊次方程：y'+y=0（2）的通解。

y（t）=Be^（st）s=-1

y（t）=Be^（-t）

（1）的一個特解：y*=1。

因此（1）的通解：y（t）=Be^（-t）+1。

5 兩種換元法的比較

（1）第一類換元法，就是反用復合函數的微分法。

如果g，h相對簡單，就很容易求。

第一類換元法，一般不會改變被積函數的形式，比如原來是根式，還是根式；原來是分式，還是分式；原來是多項式，還是多項式；原來是三角函數，還是三角函數；原來是對數函數還是對數函數；原來是指數函數還是指數函數等等。

第一類換元法的基本特征，是在被積函數與自變量之間，插入一個中間變量：

f（x）=g（z），z=h（x）

比如ln（5x+2）-->ln（z），z=5x+2

（2）第二類換元法，是要改變被積函數的形式的，通常用來積分根式、三角函數。比如，變換之后，沒有根號了；三角函數的萬能變換，將三角函數變成代數分式了。反三角函數變成三角函數了。

第二類換元法的基本形式是：

f（x），x=g（t），f（x）=f（g（t））

是在被積函數，自變量x，后面增加一級自變量t，取代了原來的自變量。

比如，lnx，x=e^t，lnx=lne^t=t。

6 結束語

通過上述換元法在常微分方程中應用的分析，我們可以看出，換元法在數學領域中是發揮著極其重要的作用的。與其他學科相結合，在其他高等數學方法的基礎上，尋找合適的新元，使常微分方程的求解更加簡便快速。

隨著數學研究者的不懈努力和科學領域的不斷進步，常微分方程這一重要的學科也在數學領域中發揮著越來越重視的作用，被人們逐漸重視。為了進一步完善換元法在常微分方程中的應用方法，我們也對數學研究學者提出了更高的要求。希望能在本文探討的結果下進一步加大對常微分方程的應用的討論，總結出更多的應用方法，更好地為解決數學領域及其他領域問題提供依據。由于數學知識比較廣泛，所以本文只是針對換元法在常微分方程中的部分應用進行了簡單的分析，希望能幫助研究學者進行分析。

參考文獻

[1]劉星風.變量代換在高等數學中的應用（第3版）[J].高校講壇，2016（15）：164～165.

[2]張 東.變量代換法在求解微分方程中的應用[J].遼寧交通高等專科學校學報，2015，23（05）：341～342.

[3]詩敏偉，吳斌華.變量代換在求解微分方程中的應用[J].徐州教育學院學報，2015，26（04）：123～125.

收稿日期：2018-3-5

作者簡介：王天璐，數學與應用數學專業。