運用一次函數圖像解決實際問題的方法探討

路夢綺 林劍

摘要：一次函數圖像在解決實際問題中具有廣泛應用。以工程問題為例，分析此類題型解題過程及思路，總結規律方法；探究數形結合等思想的運用。

關鍵詞：一次函數圖像；分析法；數形結合

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-9129（2018）07-0255-01

Abstract：a function image has wide application in solving practical problems. Engineering problems， for example， analyzed such questions the problem solving process and thinking， summarizes rule method； To explore the use of several form combining ideas.

Key words：a function image； Analysis method； Several form combining

一次函數作為初中生接觸的第一類函數，其概念內容、解題方法和數學思想是學生后續學習的重要基礎。靈活運用一次函數的圖像可以為解決實際問題提供快捷簡便的方法，教師應該通過一些典型問題的處理引導學生發現規律、歸納方法，形成數學建模意識，培養探索和創新精神，并通過相應的訓練達到熟能生巧、舉一反三、觸類旁通的目的。

現以工程問題為例，分析解題方法：

例 甲車間使用2臺A型設備和乙車間使用1臺B型設備合作加工a個零件，合作一段時間后，甲車間的一臺設備因出現了故障停止生產，修好后繼續生產，直到完成任務。每臺設備加工零件速度不變，且相同型號的設備加工零件的速度相同，甲乙車間共同加工的零件數量y（件）與加工時間t（時）的函數圖像如圖所示。

（1）求兩種型號的設備每臺每小時加工零件的個數及a的值；

（2）求甲車間加工的零件數量z（件）與t（時）的函數關系式；

（3）求甲乙兩個車間加工的零件數相等時t的值。

[解析] （1）方法一：（算數法）

一臺A型機器與一臺B型機器的工作效率（290-140）÷（2.5-1）=100（個/小時）

（2）分段函數可分別用分析法求出三個時間段內對應的z與t之間的函數關系式（“分析法”指以分析的方法尋找有用的數據和數量關系）。

當 時，甲車間兩臺機器的工作效率為 （個/小時），故z=80t。

當 時，甲車間生產已產80個零件，之后一臺A型機器以40個/小時的效率生產，故z=80+40（t-1），即z=40t+40。

當 時，甲車間已生產 （個）零件，之后兩臺A型機器以80個/小時的效率生產，故z=140+80（t-2.5），即z=80t-60。

（3）分析可知只有在（2）中時間段內可能出現兩車間加工零件個數相等。設乙車間加工零件個數為w個，則w=60t；

當40t+40=60t時，t=2；當80t-60=60t時，t=3。

通過以上分析，解決此類問題可從以下幾個方面著手：

1.弄清坐標軸所代表的實際意義。

2.注意坐標系中一些關鍵點所表示的實際意義。

3.體會所設函數關系式中k值所代表的實際意義。其中“-”號要結合不同情況而定， 表示工作效率。

4.明確解決問題的切入點在哪里。

要會看圖像，結合已知信息，直接找到淺層次問題的答案，或者用算數方法、列方程（組）的方法解決起點稍高的問題。找到了切入點，解決問題就有了突破口，后繼問題就可以依托切入點的答案進一步探索，從而得到解決。

5.掌握利用函數圖像求一次函數解析式的兩種方法：

（1）待定系數法：從圖像中找出兩個點的坐標，設出一次函數關系式，列方程（組）求出k，b的值。

（2）結合實際意義利用分析法列出函數關系式，此法有時比用待定系數法求函數關系式簡便，并且在找不到點的已知坐標的情況下更能體現出它的優勢（如（2）問）。

6.直接理解圖像有困難時建議采用線段示意圖法幫助分析，列出函數關系式，使其把握實用的解決問題的方法。

7.實際問題常常涉及分段函數，注意培養學生分類討論的數學思想。

一次函數的應用，關鍵是要引導學生通過觀察函數圖像，了解圖像蘊涵的信息，熟練運用待定系數法、分析法求函數表達式，并讓學生在經歷用一次函數解決問題的過程中增強應用意識，提高實踐能力，逐步加深對函數思想的理解[1]。

依據課程標準，近幾年的中考數學試題更加注重與生活的聯系，貼近生活的一次函數圖像應用題備受命題者的青睞。利用一次函數的圖像解決實際問題能夠夯實學生對函數的基礎知識的理解，同時培養學生運用知識解決實際問題的能力、探索創新能力和實踐能力，形成數學思維[2]。教師要在教學實踐中有意識的引導學生自主構建方法框架，內化數學思想。

參考文獻

[1]崔競.“一次函數的應用”教學設計，[J].中小學數學（初中版）2017，3，15.

[2]宋長山.如何解決一次函數“圖像應用題”.[J]初中生學習（高），2016，8，20.