基于雙層規劃定價模型的共享單車使用價格的確定

劉鑫 王權 喬通 周旭

摘要：隨著經濟的發展，城市共享單車因其便捷、便宜和靈活的特點成為越來越多人的選擇。針對共享單車使用價格的問題，首先分析了不同時空下共享單車的需求量，通過使用Logit模型、用戶平衡分配模型、隨機平衡分配模型，建立雙層規劃定價模型，上層規劃為共享單車租賃公司，下層規劃為出行者。它們在相互的適應中會生成一個平衡點，從而確定出合理的共享單車使用價格。

關鍵詞：雙層規劃模型；需求量；共享單車；平衡點

中圖分類號：F 文獻標識碼：A 文章編號：

1不同時空下共享單車的需求量

首先在空間上統計了不同地域人們對于共享單車的租借數，以上海為例，調查了15天的共享單車的日租借數，由于居民的個人偏好、所在地的交通狀況等復雜因素，不同的地域人們對于共享單車的需求量不同，城市中心區共享單車的需求量[1]最大，郊區共享單車的需求量最小[2]。

2基于雙層規劃定價模型的共享單車使用價格的確定

在共享單車票價定價問題中，共享單車公司的利益和出行者的出行方式是息息相關的，因此可以用雙層模型制定票價，其中上層規劃為共享單車租賃公司，下層規劃為出行者。共享單車租賃公司可以根據市場變化調節共享單車使用的價格，而共享單車使用的價格變化會影響出行者選擇出行工具。它們在相互的適應中會生成一個平衡點，即為城市共享單車的合理使用價格[3]。

為了建立雙層規劃模型，我們會用到Logit模型、用戶平衡分配模型以及隨機平衡分配模型[4]。

2.1 Logit模型具體如下

（1）

其中，Pijr表示選擇出行方式r的情況下從起點i到終點j所對應的分擔率；η表示待定系數；Kijr表示選擇出行方式r的情況下從起點i到終點j所對應的交通阻抗。

2.2 用戶平衡分配模型如下

當用戶在出行時，會根據他們自己不同的需求選擇不同的出行方式，當然每個出行者會選擇廣義費用最小的出行方式。因此，本文假設每個出行者相應的廣義出行費用都是相等的，且不大于未被利用的交通方式的出行費用。

本文綜合各種影響出行者選擇出行方式的因素，建立以下模型[4]：

（3）

其中，A（x）為目標函數；xb表示路段b上的交通流量；Lb表示路段b的交通阻抗；Lb（Xb）表示路段b關于流量的阻抗函數；fopk表示從起點o到 p間的OD客流量；ξopb，k表示路段-路徑的0-1變量，即假設路段b為自起點o到終點p的OD間的第k條路徑，那么ξopb，k=1，負責ξopb，k=0。

2.3 隨機平衡分配模型如下

由于相應路段的流量是隨著路段的阻抗的變化而變化。所以出行者會隨機的選擇對應阻抗最小的路徑來出行。相應的模型如下[5]：

其中 表示在各路段實際阻抗前提下的感知阻抗的數學期望；COP（X）表示（o，p）之間各條路徑的實際阻抗的向量；Copk表示 （o，p）之間第k條路徑的感知阻抗。

3雙層規劃模型的建立與求解

本文在出行者以及共享單車租賃公司的利益為前提下，共享單車相應的票價收入Ir跟票價Cr和客流量Qr相關，具體關系如下：

（4）

根據上述Logit模型，對交通方式的選擇來進行相應的離散選擇分析，具體如下：

（5）

其中，Cijr在交通方式v下從起點i到終點j的票價；λk為與交通方式v相關的特征參數；η是交通方式v下的安全、準點、舒適等相關特征； r表示共享單車方式，v表示其他公共交通方式。

3.1上層規劃模型

共享單車租賃公司只考慮最大輸入作為目標，具體模型如下：

（6）

其中，I（C）表示共享單車的收入；Cminr表示政府限制共享單車的最低票價；Cmaxr表示政府限制共享單車的最高票價；xijr表示共享單車從起點 到終點 對應的實際客流量。

3.2下層規劃模型

出行者考慮出現出行成本，建立模型如下：

其中， 表示以各路段實際阻抗為前提下的感知阻抗的相應的數學期望；Cop（x）表示（o，p）之間各條路徑的實際阻抗的向量； Copk表示（o，p）之間第k條路徑的感知阻抗；Lijr（Xijr）表示節點（i，j）間的流量為自變量的阻抗函數；fopk表示共享單車的出發點o到目的地p的OD間的第k條路徑上的流量；ξopo，b，k表示路段與路徑的相關變量。

3.3雙層規劃模型的求解算法

設定票價為相應的擾動參數，并假設客流量的相關影響因素維持恒定，就可以采用靈敏度分析的方法來進行票價的求解。相關的用戶平衡分配模型的變分不等式如下[6]：

（7）

其中， 表示模型的均衡解， 表示阻抗函數。假設存在擾動參數C，即 ，則可以轉化為：

（8）

在公式（7）中，對于任意 ，假設變分不等式（8）在C=C（0）時的解x*ijr（C（0））是唯一確定的。那么當C=C（0）時，雙層規劃問題的解的必要條件為：

（9）

其中，Cijr表示均衡模型中約束的拉格朗日乘子向量。假設y（C）=[xijr（C），Cijr（C）]r，用Jc（C）來代表上兩式對y（C）的雅可比矩陣，用Jc（C）來代表上兩式對C的雅可比矩陣，就可以獲得下式[7]：

（10）

設定初始單車使用價格為 ，假設i與j之間對應的其他類型共享單車的使用價格都不變，對下層規劃問題進行求解，可以得到i與j 的客流量 。然后運用靈敏度分析法計算客流量的變化和單車使用價格的相應關系 。因此反映函數泰勒展開式近似表達式為[8]：

（11）

將公式（11）迭代進上層規劃問題中，可得上層規劃問題的最優解，然后再求解下層規劃問題，進而得到最新的解，并能得到新的近似反應函數。如此反復跌迭代，最終可得滿意解，具體步驟如下：

（1）假設共享單車使用價格初始值為Cijr（0），設定精度ξ以及客流量 的值，并令

（2）讓已知 迭代進對應的下層問題中，并對下層的客流量分布求解，就能夠獲得一個均衡解xijr（p）。

（3）運用靈敏度分析法獲取多種交通方式前提下的共享單車客流量對其使用價格相應的倒數關系式，由此可以求出反應函數的近似表達式。

（4）將步驟（3）中獲得的反應函數的近似表達式迭代進上層規劃的目標函數并求解，由此可得一組新的共享單車的票價yijr（p）。

（5）求解 其中h為迭代步長。

（6）當 時迭代停止，否則令p=p+1，返回步驟2迭代求解。

4結論

首先以上海市為例，分析了不同時空下共享單車需求量。之后為了設計一個最優的定價模型，建立了 模型、用戶平衡分配模型以及隨機平衡分配模型，從而建立雙層規劃模型并求解，得出了較為合理的共享單車使用價格。