考慮多車型油耗因素的路網收費優化模型研究

張凱龍， 李希杰， 李自若

(北京交通大學交通運輸學院，北京 100044)

隨著機動車保有量逐年攀升，交通需求不斷增長，道路交通中汽車的燃油消耗也將隨之增加。在全國經濟迅速增長的背景下，交通運輸需求和服務也在逐漸擴大，使得交通運輸系統的能源消耗，尤其是石油消耗，成為不可忽視的問題[1]。目前，我國的交通系統主要依賴于石油資源，并且儲備不足。面對逐漸枯竭的石油資源，需從各個方面著手解決，包括交通設施建設、交通需求管理等。其中，道路收費作為主要的需求管理手段，可有效地控制出行者的路徑選擇，通過合理規劃路網中車流量的分配，使總油耗量控制在合理的水平。

由于不同車型的百公里耗油量區別很大，所以考慮按車型不同收取不同的費用。國外在道路收費方面的研究已很深入[2-4]，但有關分車型的收費研究還較少，其中新加坡在城市內的區域范圍成功進行了分車型擁擠收費[5]。國內有關分車型收費的研究主要考慮的是高速公路的網絡均衡以及改擴建方面[6]，在其他道路收費方面，分車型的研究還很少，主要側重于以環境保護為目標，并未深入考慮能源消耗方面。

現有考慮油耗因素的收費定價模型較少，對于分車型按油耗量收費的模型更是少之又少。張衛華等[7]考慮私家車和公交車雙模式下的路網均衡，結合道路收費原理，建立了考慮能耗的雙層收費模型。徐薇等[8]從減排的角度出發，利用一氧化碳排放的估算公式，建立了多模式混合交通網絡下的雙層收費模型。本文以高速公路及其相鄰道路組成的公路網為研究對象，采用兩階段模型，首先建立了多車型最小油耗模型，得到路網總油耗量最小情況下期望達到的路段流量。在此基礎上，建立多車型最優收費均衡模型，并采用Frank-Wolfe算法，通過尋找可行下降方向迭代求解，得到路段的最優收費值，使出行者按期望達到的路段設計流量出行，最終達到路網平衡狀態下總油耗量最小的目的。最后結合算例，分析幾種收費方案的優勢和收費的價值。

1 油耗模型的建立

我國的車型分類目前尚沒有統一、整齊的標準。總結國內外汽車分類標準，結合我國機動車分類標準中的GB/T 7258-2017[9]，從燃油消耗的角度出發，將汽車分為三類：車型一是高排量汽車，即幾種大中型客貨車；車型二是中低排量汽車，即小型燃油車輛；車型三是排量較低的車型，包括各種油電混合和新能源的車輛，目前這一類型小汽車雖然普及度不夠，但作為交通與能源交叉學科的熱門問題，在將來必定會有重大突破。

車輛油耗值等于行駛路程與單車百公里油耗值的乘積，建立公路網最小油耗模型的關鍵在于建立切合實際的單車百公里油耗模型。公路網油耗-車速模型的基本表達式可以寫成：

F=F0×(av2+b/v+c)×(1+0.14x/C)

,

(1)

式中,F為單車百公里油耗因子，L；F0為標準條件下(車速為50 km/h)百公里的單車油耗值，L；v為速度，km/h；a,b,c為回歸參數；x為流量，車/h；C為道路通行能力。

譚爭偉等[10]采用大量實測數據對已有油耗模型進行修正及標定，參見表1。

表1 公路網不同車型的單車百公里油耗模型Table 1 100 km fuel consumption model for multi-vehicle on road network

表1不考慮道路條件，將幾種大中型客貨車(大型客車、小型貨車、中型貨車、大型貨車)分類為車型一，將小型客車分類為車型二，不考慮集裝箱型車輛。假定雙車道公路自由流車速為73 km/h時，通行能力為1 400 車/h，王煒[11]給出的對應雙車道公路標準化車速-流量模型為：

v=73exp(-0.000 42x)，

(2)

式中，x為流量，車/h。替換小型客車油耗模型中的速度，車型二流量-油耗模型可以表達成：

F2=7.91×(0.463 623exp(-0.000 84x2)+0.332 329exp(0.000 42x2)+0.291)×(1+0.14x2/700)，

(3)

式中,x2表示車型二的流量。用二次函數對上式進行擬合，為保證擬合結果的準確性，標定參數取到小數點后9位：

F2=0.000 001 351x22-0.000 638 340x2+ 8.755 289 281。

(4)

按照計算車型二油耗模型的方法，結合表1，可計算出大型客車、小型貨車、中型貨車、大型貨車的流量-油耗函數表達式。再通過隨機模擬將4個函數擬合成1個，得到類似車型二的流量-油耗表達式：

F1=0.000 002 492x12-0.000 071 123x1+16.914 110 016。

(5)

車型三是包括各種油電混合和新能源的車輛，很難建立統一形式的油耗表達式。但考慮到此類型車輛與小汽車對道路的占用權基本相同，采用折算系數的方式建立車型三的油耗模型：

F3=uF2，

(6)

式中，折算系數u取0.1。所以車型三的油耗模型可以寫成：

F3=0.000 000 135x32-0.000 063 834x3+ 0.875 528 928。

(7)

2 兩階段收費模型

2.1 多車型最小油耗均衡模型

考慮一個給定的交通網絡G=(N,A)，N為所有節點的集合，A為所有路段的集合，假設OD對個數為W，Rw為OD對w之間所有路徑的集合。以路網中汽車基本油耗總量最小化為目標，可建立多車型最小油耗模型：

(8)

(9)

(10)

fr,i≥0，?r∈Rw，

(11)

(12)

其中，

Fa,1=0.000 002 492xa,12-0.000 071 123xa,1+16.914 110 016，

(13)

Fa,2=0.000 001 351xa,22-0.000 638 340xa,2+ 8.755 289 281，

(14)

Fa,3=0.000 000 135xa,32-0.000 063 834xa,3+ 0.875 528 928。

(15)

在上述模型中，xa,i為決策變量，表示路段a上第i種車型的車流量，dw,i表示OD對w之間第i種車型的出行需求，fr,i為路徑r上i型車的流量，r∈Rw。對于路段a上的i型車，當路段a在路徑r上時，δar,i=1，反之，δar,i=0。

多車型條件下，約束(9)表示不同車型路段流量與路徑流量之間的關聯關系；約束(10)表示不同車型路徑流量與OD對需求之間的守恒關系；約束(11)表示流量的非負約束；約束(12)表示路段容量限制。目標函數的意義類似于系統最優分配模型SO，表示路網油耗總量最小。

2.2 多車型最優收費均衡模型

多車型最小油耗模型的最優解代表路網油耗總量最小情況下的路段設計流量。為使出行者按上述期望達到的路段設計流量出行，需要通過收費的方式調控出行者的路徑選擇行為。進而建立了第二階段收費模型，通過制定合理的收費策略，誘導出行者主動選擇使系統總油耗最小的出行路徑，達到降低系統能耗的目的。

。

(16)

固定需求條件下，道路收費表達成時間的形式，收費值為τmin時，用戶的出行廣義費用主要由兩部分構成：道路收費和出行時間成本。用路段費用函數t(x,τ)表示，其中x為路段流量分布，x*為均衡狀態下的流量分布。則收費方案τ條件下的交通網絡均衡問題可以用如下變分不等式表示[13]：

t(x*,τ)T(x-x*)≥0，?x∈Λ。

(17)

根據其等價Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件，可以得到與該變分不等式相等價的互補約束：

(18)

(19)

當x*為系統最優條件下的流量分布時，該收費方式存在且不唯一。為了使收費方案唯一，本文建立如下多車型最優收費均衡模型：

(20)

s.t.τa1≥τa2≥τa3，

(21)

τa,i≥0，

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

在上述模型中，λw,i是OD對w間第i型車最小的廣義費用(出行時間加上油耗收費),a表示路段，i表示車型,dw,i表示OD對w之間的i型車出行需求。對于第i型車，當路段a在路徑r上時，δar,i=1，反之，δar,i=0。公式(21)表示不同車型收費值間的大小關系；公式(22)表示收費值為正，不考慮政府補貼；公式(23)表示收費后路網總的費用，應該等于不同車型總的出行需求乘以每個OD對間不同車型單位車輛最小的廣義費用；公式(24～26)表示收費后所有路徑上單位i型車輛的出行成本都大于對應OD對間的單位i型車輛最小廣義費用。約束的合理性可由公式(17)的等價Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件進行證明。

可以通過驗證同一OD對間所有路徑的廣義費用是否相同，判斷收費均衡模型的最優解是否使路網流量達到平衡。平衡時，整個路網的總油耗量最小。

2.3 算法設計

該兩階段模型可以分步求解。第一階段模型為帶有線性約束的非線性規劃問題，利用Frank-Wolfe算法將目標函數近似線性化，通過尋找可行下降方向進行求解。第二階段模型目標函數和約束都是線性的，可直接求解線性規劃。

利用Frank-Wolfe算法求解第一階段非線性規劃的步驟如下：

步驟一：首先選定路段初始流量分布x(0)，給定終止誤差ε>0，令k=0，轉步驟二。

步驟二：求解近似線性化。目標函數F(x)在x(k)處的線性逼近可表示為：

F(x)≈F(x(k))+F(x(k))T(x-x(k))。

(27)

用上式右邊的線性函數代替目標函數F(x)。則在流量x(k)的領域內，可確定近似線性規劃：

(28)

其等價的線性規劃：

(29)

將流量通過全有全無的方法分配得到最小費用的路徑，路段費用通過當前路段流量求得，即求解上述線性規劃得到最優解y(k)。

步驟四：進行有效一維搜索。求解線性規劃：

minF(x(k)+λp(k))

(30)

s.t. 0≤λ≤1。

(31)

解得最優步長λk。更新流量分布，令x(k+1)=x(k)+λkp(k)，k=k+1，轉步驟二。

3 算例分析

選取抽象公路網絡圖，如圖1所示，該交通網絡中共有6個節點、7條路段、兩個OD對(1,3)和(2,4)。每個OD對間第i型車的潛在需求設為dw,1=1 350 車/h，dw,2=1 050 車/h，dw,3=600 車/h。

圖1 公路網絡圖Fig.1 Road network

路段參數如表2所示。

表2 路段參數Table 2 Path parameters

最小油耗模型是一個帶有線性約束的非線性規劃問題，可采用Frank-Wolfe算法，通過尋找可行下降方向迭代求解。使用MATLAB編程求解，得到路網流量分配如表3所示。

表3 最小油耗下的路段流量Table 3 Path traffic flow under minimum fuel consumption

將上述得到的最優解代入第二階段模型，求解路段上不同車型的收費值，如表4所示。

表4 不同車型路段收費值Table 4 Road toll value of multi-vehicles

驗證收費后OD對間所有路徑的廣義費用相同，如表5所示。

表5 OD對之間的最小廣義費用Table 5 The minimum generalized travel cost between OD pairs

上述方案都是可行的收費方案。經過驗證，同一OD對間所有路徑的廣義費用相同。收費方案一是滿足多車型最優收費均衡模型的最優解，路網總的收費值最小；方案二是滿足模型二約束的一種可行的非負收費方案。方案一雖然能使總收費最優，卻不能區分不同車型的收費差別，而方案二的收費值可以看出不同車型的收費差別。并且存在可行收費方案τ3=τ1+k(τ2-τ1),k∈N，使路網達到平衡，其中τ3是τ1和τ2的任意線性組合。路網的總收益隨著k的增加而增加，可以選取合適的k值，以達到道路管理者的財政收入目標。

研究結果表明，通過制定合理的收費策略能夠有效地調控出行者的路徑選擇行為，實現系統總油耗最小的目標。

4 結論

本文從節約能源的角度出發，按耗油量不同對機動車進行分類，通過建立最小油耗模型求解出使整個路網總油耗量最小情況下期望達到的各路段流量，再利用收費策略調控出行者的路徑選擇行為，最終達到路網平衡狀態下總油耗量最小的目的。研究結果表明，合理的收費策略能夠有效地調控出行者的路徑選擇行為，針對不同車型可以制定多種不同的收費方案，從而實現系統總油耗最小的目標。

通過道路收費的方式可以降低交通能耗，具有一定的現實意義，如何在模型中將道路中諸多不確定性因素考慮進來將是下一步研究的主要內容。