空間幾何體的截面

張小蓉 張秀蓉

高考文科數(shù)學(xué)對學(xué)生的空間想象能力有較高的要求，近幾年有多地的文科數(shù)學(xué)高考中直接或間接地出現(xiàn)了作圖題，其中如何做出空間幾何體的截面更是重難點.

如2015年全國卷Ⅱ，第19題：

如圖1，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.

那如何作出一個幾何體的截面？首先，截面的邊界必在幾何體的表面，作截面的本質(zhì)是找出平面與幾何體表面的交線；其次，判斷平面與幾何體的哪些表面有交線，由公理三可知兩個平面若有一個交點，必有一條交線；最后，作出交線即可.筆者將作交線分出以下兩種題型：

一、相交型

例1.（2015秋·石景山區(qū)期末）如圖2，有一個正方體的木塊，E為棱AA1的中點.現(xiàn)因?qū)嶋H需要，需要將其沿平面D1EC將木塊鋸開.請你畫出平面D1EC截正方體的截面.

解法一：1.判斷線段EC并不在正方體表面，點C為平面D1EC與平面ABCD的交點，所以平面D1EC與平面ABCD存在交線；

2.顯然點C對邊D1E與平面ABCD不平行；

3.在平面A1D1DA內(nèi)，延長D1E與直線DA相交于點F，則直線CF與直線AB相交于點G，聯(lián)結(jié)EG；

則易得四邊形CGED1為所求截面

二、平行型

同樣我們觀察例1，有解法二：

1.判斷線段EC并不在正方體表面，點E為平面D1EC與平面A1B1BA的交點，所以平面D1EC與平面A1B1BA存在交線；

2.且顯然點E對邊CD1與平面A1B1BA平行；

3.在平面A1B1BA內(nèi)，過點E作直線與直線CD1平行，與直線AB交于點G，聯(lián)結(jié)CG；

則易得四邊形CGED1為所求截面.

從例1的解答中，我們可以總結(jié)出，要得出兩平面的交線，只需先找出一個交點，并判斷該點的對邊與平面是否平行，并相應(yīng)地作延長線或平行線即可.

除了題目直接要求作出截面或交線以外，以下兩個題型也與截面有關(guān)：

例2.如圖3，四棱錐P-ABCD中，點E，F(xiàn)分別為線段CD，PB的中點，在線段PC上是否存在一點Q使得AFQE四點共面，若存在求的值，不存在請說明理由.

解題思路：延長AE交BC于點G，聯(lián)結(jié)FQ交PC于點Q，即所求；

易得點Q是三角形PBG的重心，所以=2.

例3.如圖4，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等腰直角三角形，AB=AC；

點D為線段BC1的中點，證明：BC⊥平面AA1D.

解題思路：將三角形AA1D擴大至截面，易證.

如例2，例3，立體幾何中很多題目的難點在于如何找出平面相關(guān)的平行和垂直關(guān)系，有時將圖形擴大至截面可使問題迎刃而解.

？誗編輯 李建軍