破繭成蝶，路在何方

白子彥

自實施新課改以來，創新意識就是高考數學考查的能力之一，伴隨著課程改革的腳步，新課標Ⅱ卷中的創新立意的試題如縷縷清風，拂面而來，它們題意鮮明，背景豐富，寓意深厚，解法靈活多樣，構成了新課標Ⅱ卷的一道靚麗的風景線，特別是理科第17題，這是一道集數列的遞推公式、等比數列的定義、通項公式、及非特殊數列求和等問題于一體的綜合性試題，研究好題如沐春風，此題看似平淡，卻精彩紛呈，看似常規，卻彰顯能力，是一道值得研究的好題，下面從試題命制背景、解題思維形成的幾種途徑、變式提升入手進行探究。

題目（2014年高考數學理科新課標Ⅱ卷17題）已知數列an滿足a1=1，an+1=3an+1

（Ⅰ）證明：an+是等比數列，并求an的通項公式

（Ⅱ）證明：++…+<

命題給出答案如下所示：

（Ⅰ）由an+1=3an+1得an+1+=3（an+），又a1+=，所以an+是首項為，公比為3的等比數列，an+=，因而an通項公式為an=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知=，因而n≥1時，3n-1≥2·3n-1>0，所以≤。

則++…+≤1+++…+=（1-）<

即++…+<

該題的解決，將3n-1縮為2·3n-1，即3n-1≥2·3n-1，進而得到不等式的證明，但這個不等式是如何想到的呢？由于過程過于簡捷，又給放縮法增添了一層神秘的色彩。因此闡述這個不等式是如何放縮而來的是有必要的。

人民教育出版的普通高中課程標準實驗教科書數學（必修）中，主編寄語中有這樣一段話：如何才能學好數學呢？我們首先應當對數學有一個正確的認識①數學是自然的，②數學是清楚的。筆者對這句話的理解是：數學本身是自然的，我們用數學知識分析和解決問題時，也應力求解題思想的自然流露和解題過程的自然流淌。水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味。筆者是這樣思考的：不等式左邊是數列前n項和，由（Ⅰ）知=又見數列既不是等差和等比數列，也不是記憶中能夠求和的雜數列。

通過先求和再進行證明難以實現解題目標，所以需要研究通項放縮后再求和，觀察=我們發現數列與等比數列之間只有一步之遙，若把中的1丟掉放縮為，可以得到一個等比數列的通項，問題是把中的1丟掉后分子不變，分母變大，放縮后分數值將變小，又距目標將越來越遠，能否讓中的1消失同時又放大？

方法：構證等比數列證明。

將要證明的不等式右邊轉化為一個無窮等比數列的和，設該數列首項為a1，公比為q，（0

由于-=-==≥0，則≥，故++…+≤1+++…+=（1-）<

研究高考試題的背景，就是要深挖題源，研而不倦。高考試題的背景是通過不同知識載體來實現和依托不同方式呈現的，只有我們弄清問題的本質，才能有正確的求解思路和方法。這道數列題的第二問本質就是借助等比數列的求和公式來命題的，因而在解題思路上應將其轉化為等比數列的求和來解決。

教材是高考題產生之源，立足教材，著眼數學問題的自然產生，緊扣教材，關注數學問題的自然解決，因此作業教師，在引導學生探究多種解法的同時，要讓學生領會原有的數學思想與數學方法。若能生成數學創新就更完美了，這樣方能有效提高學生的思維能力和解題能力，使學生開拓解題思路，促進數學的高效學習。

？誗編輯 李建軍