高中數學中如何由遞推關系求數列的通項

董根娥

類型一：累加法（型如：an+1=an+f（n））

例1.在數列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），求an.

【解析】∵an+1=an+ln（1+），

∴an+1-an=ln，

∴a2-a1=ln2，a3-a2=ln，a4-a3=ln

……

an-an-1=ln.

以上n-1個式子相加得：an-a1=lnn，

又a1=2，∴an=2+lnn.

類型二：累乘法（型如：an+1=g（n）an）

例2.設數列an是首項為1的正項數列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1，2，3，…），求an的通項公式.

【解析】原式可化為[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0.

∵an+1+an>0，∴=.

則=，=，=，…=，

以上n-1個式子相乘，得=，∴an=.

類型三：構造新數列法（型如：an+1=can+d）（c≠1且d≠0）

例3.已知數列an中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

【解析】（an+1+λ）=2（an+λ），可得λ=3

∴（an+1+3）=2（an+3）

∴數列an+3是公比為2，首項為a1+3=4的等比數列.

∴an+3=4·2n-1=2n+1

∴an=2n+1-3.

注：待定的λ=（熟記后即可加快解題速度）

類型四：（型如an+1=c·an+f（n））

例4.在數列an中，a1=-1，an+1=2an+4·3n-1，求通項an.

【解析】原遞推式可化為：=+.

即=·+，記=bn，則bn+1=bn+.

∴bn+1-=（bn-）

∴數列bn-是公比為，首項為b1-=-的等比數列.

∴bn-=（-）·（）n-1

∴bn=-·（）n-1.

∴an=3n[-（）n-1]=4·3n-1-5·2n-1.

類型五：取倒數法

例5.已知數列an中，a1=1，且當n≥2時，an=，求數列an的通項公式.

【解析】將an=兩邊取倒數得：==2+

∴-=2（n≥2）

∴數列是公差為2，首項為=1的等差數列

∴=2n-1

∴an=.

類型六：取對數法

例6.若數列an中，a1=3，且an+1=a2n，求通項an.

【解析】由題意：an>0，將an+1=a2n兩邊取對數：lgan+1=2lgan

∴數列lgan是公比為2，首項為lga1=lg3的等比數列.

∴lgan=2n-1·lg3

∴an=32n-1.

類型七

例7.已知數列an滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2），求通項an.

【解析】a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2） ①

∴a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n-1）n（n+1） ②

①-②得：nan=3n（n+1）

∴an=3（n+1）=3n+3.

類型八 an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）

例8.已知an>0，=，則通項an= .

【解析】（an+2）2=8Sn ①

（an-1+2）2=8Sn-1 ②（n≥2）

①-②得：（an+2）2-（an-1+2）2=8an，化簡得：（a1+an-1）（an-an-1-4）=0.

∵an>0 ∴an+an-1>0 ∴an-an-1=4 ∴數列an是公差為4的等差數列.

又∵a1=S1=2 ∴an=4n-2

以上的類型是高中數列中已知遞推關系求通項的常用類型，請同學們細心領會，認真掌握.

？誗編輯 張珍珍