點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式

劉彥江 趙欣慶 張文斌 丁冬彥

摘 要：利用幾何畫(huà)板軟件作圖，用向量思想方法求解點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式，直觀、準(zhǔn)確地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的交叉滲透，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美.

關(guān)鍵詞：構(gòu)圖；向量；距離公式

筆者基于幾何畫(huà)板軟件探究出了“點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式”一課.以下為課堂實(shí)錄，僅供參考.

一、點(diǎn)到直線的距離公式

幾何畫(huà)板展示構(gòu)圖：

1.新建畫(huà)板，建立平面直角坐標(biāo)系.在x軸上任取點(diǎn)H；在y軸上任取點(diǎn)I.過(guò)H作x軸的垂線與過(guò)I作y軸的垂線交于P0.作線段HP0、線段HP0.隱藏垂線.

2.在x軸上任取點(diǎn)J；在y軸上任取點(diǎn)K.構(gòu)造過(guò)J、K兩點(diǎn)的直線l.在直線l上任取點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線l的垂線，在垂線上任取點(diǎn)F（在直線l的右側(cè)），構(gòu)造直線的法向量.構(gòu)造射線EF，隱藏垂線.

3.在直線l上任意取一點(diǎn)P，構(gòu)造向量.圖形如右：

4.拖動(dòng)點(diǎn)J、K，使直線l在點(diǎn)P0的左側(cè).過(guò)點(diǎn)P0作射線EF的垂線交EF于點(diǎn)G，構(gòu)造向量的投影EG.

5.拖動(dòng)點(diǎn)P0，觀察投影EG的變化.

新建文件夾，將“未命名1”存入.

板書(shū)：點(diǎn)到直線的距離公式：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知某點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（x0，y0），直線l的方程為Ax+By+C=0（A>0，B≠0），求點(diǎn)P0到直線的距離.

解：如上圖，設(shè)直線l的一個(gè)法向量為，不妨設(shè)為=（A，B）.設(shè)P（x，y）是直線l上的任意一點(diǎn)，則=（x0-x，y0-y）.

點(diǎn)到直線l的距離d為向量在上的投影的絕對(duì)值.

d=cos<，>=.

而·=A（x0-x）+B（y0-y）

=Ax0+By0-（Ax+By）

=Ax0+By0+C.

又=，

所以得到點(diǎn)到直線的距離公式

d=.

若A=0，直線l和x軸平行，直線l的方程為By+C=0，點(diǎn)到直線的距離公式為d=y0+=.

若B=0，直線l和y軸平行，直線l的方程為Ax+C=0，點(diǎn)到直線的距離公式為d=x0+=.

因此，若A=0或B=0，上式仍成立.

二、兩條平行直線的距離公式

幾何畫(huà)板展示構(gòu)圖，其“腳本”如下：

1.新建畫(huà)板，建立平面直角坐標(biāo)系.在x軸上任取點(diǎn)H；在y軸上任取點(diǎn)I.構(gòu)造過(guò)H、I兩點(diǎn)的直線l′.

2.在y軸上任取點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作直線l′的平行線l″，在直線l′上任取點(diǎn)E，過(guò)E作直線l′的垂線，在垂線上任取點(diǎn)F（在直線l″的右側(cè)），構(gòu)造直線的法向量，構(gòu)造射線EF，構(gòu)造EF與直線l″的交點(diǎn)G.

3.在直線l′上任取點(diǎn)P1，直線l″上任取點(diǎn)P2，構(gòu)造向量.構(gòu)造向量的投影EG.

4.鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)P1、P2，觀察投影EG的大小變化情況.如右圖：

另存為“兩條平行直線的距離公式”.

板書(shū)：兩條平行直線的距離公式：

在平面直角坐標(biāo)系中，兩條平行直線l′與l″的方程分別為Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0，（A>0，B≠0）.

求平行直線l′與l″的距離.

解：如上圖，首先設(shè)直線的一個(gè)法向量，不妨設(shè)為=（A，B），設(shè)P1（x1，y1）是直線l′上的任意一點(diǎn)，P2（x2，y2）是直線l′上的任意一點(diǎn)，則=（x2-x1，y2-y1）.

兩平行直線l′與l″的距離d就是向量在上的投影的絕對(duì)值.

d=cos<，>=

而·=A（x2-x1）+B（y2-y1）

=（Ax2+By2）-（Ax1+By1）

=C1-C2.

得到兩平行直線間的距離公式.（板書(shū)）

本節(jié)課是向量思想方法與幾何畫(huà)板軟件的聯(lián)袂，用此法求點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離，直觀、準(zhǔn)確地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與軟件教學(xué)的交叉滲透，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美.

參考文獻(xiàn)：

方其桂.多媒體CAI課件制作實(shí)例教程[M].清華大學(xué)出版社，2003.

注：甘肅省2017年規(guī)劃課題（GS[2017]GHB2552）：幾何畫(huà)板軟件在解析幾何教學(xué)中應(yīng)用的研究.

？誗編輯 趙飛飛