聚焦變式教學迸發思維火花

樓雙燕

摘 要：現代心理學認為：數學是人類思維的體操，數學教學實質上是數學思維活動的教學。在進行高中數學課堂教學過程中，通常會用變式教學的方法，采取變式提問的引導式教學，引導學生進行多方面的研究和探索，從而找到解決問題的根本途徑。

關鍵詞：變式教學；思維；高考數學

縱觀近幾年的高考數學試題，可以看出高考數學試題加強對知識點靈活應用的考查，這就要求我們教師平時要加大對學生思維能力的培養。如何提高學生的思維能力，提升學生的解題速度、正確率，光靠題海戰術是不夠的，本人認為要注重學生解題后的反思、點評，發揮“一題多變”“一題多解”“多題一解”的變式，打破學生的傳統解題思想，從全新的角度進行分析，找到最佳的解決方案，提高解題效率。

變式教學注重對學生內在思維的遞進過程，利用變式教學對問題進行化歸，是數學教師在教學中常用的、極其有效的教學手段，可以讓學生站在整體的角度，全面地思考問題，同時也有助于培養學生主動思考的意識。而這些都需要教師在新舊知識之間做一定的鋪墊，層層遞進，使得學生能一步步地解決問題。本文主要對這三種解題方法及題型的變式進行闡述。

一、一題多變之變式

一題多變之變式，就是通過對某一題目進行條件變化、結論探索、逆向思考、拓廣變式、推廣應用等多角度、多方位的探究，使一個題目變為一類題，達到舉一反三、觸類旁通的目的，培養學生良好的思維品質及探索、創新能力。

例：已知橢圓+=1的兩個焦點F1，F2，P是橢圓上的一

點，∠F1PF2=90°，則S△FPF=__________。

變式1：若“∠F1PF2=90°”改成“∠F1PF2=60°”，則S△FPF=__________。

變式2：已知橢圓+=1（a>b>0）的兩個焦點F1，F2，P是橢圓上的一點，∠F1PF2=？茲，則S△FPF=__________。

變式3：已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩個焦點F1，F2，P是雙曲線上的一點，∠F1PF2=？茲，則S△FPF=__________。

本例題是一個特殊角90°的問題，變式成一般的角度60°，勾股定理就無法使用了，需要用到橢圓的定義及余弦定理，（2c）2=PF12+PF22-2PF1PF2cos60°=（PF1+PF2）2-3PF1PF2=4a2-3PF1PF2，

所以PF1PF2=（a2-c2）=b2

所以S△FPF=PF1PF2sin60°=b2=3

若改成一般橢圓呢？能否既得到一般性的結論，又具有推廣意義，進行了變式2的訓練，此時經過計算可得出S△FPF=b2tan，再者我們將橢圓變成雙曲線，同樣利用雙曲線的定義及余弦定理得出S△FPF=，從而進一步激發學生學習的熱情。

變式4：已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的

一個公共點，且∠F1PF2=60°，則橢圓和雙曲線離心率的倒是之和的最大值為_______（2014年湖北省數學高考理科試題第9題）

利用橢圓和雙曲線的焦點三角形面積公式得：b21tan30°=（設橢圓和雙曲線的虛半軸長分別為b1，b2，離心率分別為e1，e2）

即+=4，由柯西不等式得（+）2=（+·）2≤（+）·（1+）=，當且僅當=時取到等號，從而+≤。

點評：一題多變已歸類出一般性的結論，為了能進一步鞏固結論，又進行拓展變式4的訓練，使學生掌握知識間的聯系，培養學生的發散思維。一題多變的題目，重視了同類題型的歸類總結，從而避免了盲目的題海訓練，使數學課堂的教學變得輕松而有效率。

二、一題多解之變式

一題多解是指從不同角度，運用不同的數學原理、不同的數學方法和不同的數學思路進行解題。

例：已知x，y∈R+，且2x+y=1，則+的最小值為______。

本例題利用基本不等式求最值的一類典型例題，學生也比較容易出錯，比如：

2x+y=1≥2，當且僅當2x=y時取到等號，從而+≥2≥4，當且僅當x=y時取到等號，這樣的錯誤未考慮兩次均值不等式能否同時取到等號。下面從不同方法來解決此類例題。

解法一：“1”的代入

+=（+）（2x+y）=3++≥3+2，當且僅當=時取到等號，所以+的最小值為3+2。

點評：已知“和”為定值，求“和”的最值問題，解題的基本思路是兩者相乘，構造基本不等式。

解法二：三角換元法

因為x，y∈R+，且2x+y=1，所以令2x=cos2α，y=sin2α，所以+=+=+=3++≥3+2，當且僅當=時取到等號。

點評：已知“和”為定值，可以借助于cos2α+sin2α=1，運用三角換元法構造基本不等式。

解法三：消元構造法

因為x，y∈R+，且2x+y=1，所以x=1-2y且y∈（0，），則+=+===當且僅當1-y=時取到等號。

點評：通過解法一、二、三的教學，可以讓學生輕松地理解和掌握均值不等式在求最值時應滿足的三個條件“一正、二定、三相等”。

解法四：整體換元法

令+=t，則txy=x+y，

又因為x，y∈R+，且2x+y=1，所以x=1-2y且y∈（0，）

所以t（1-2y）y=1-2y+y

即方程2ty2-（1+t）y+1=0在y∈（0，）內有解。

令f（y）=2ty2-（1+t）y+1，則<Δ≥0或≥f（）<0，解得

t≥3+2

點評：整體換元的解題基本思路是運用函數的思想方法，求

某個量的最值就可看成關于某個自變量的函數，如果變量較多，就采取消元的思想進行降元。

開展一題多解，有利于培養學生的辯證思維能力，加深學生對知識的理解，鞏固數學思想方法的滲透，挖掘例題的內涵，激發學生學習的興趣，使不同層次的學生的數學思維能力都得到提高，培養學生的發散思維。但一題多解的最終目的不是展示多少種方法，而是尋找一種最佳、最簡潔的方法。

三、多題一解之變式

在數學解題的實踐中可以看出，雖有多個題目，但屬于同一種類型，故可用同一種思路或方法來解決問題，即為多題一解。在解題過程中，為強化某一解題方法，我們將一些不同內容的練習有機串聯起來，編成一組，引導學生進行觀察，讓學生用同一種方法去解，達到強化訓練的目的，提高學生的化歸能力，使零碎的知識整合成一個有機的整體，從而提高學生解題技巧技能和運用知識的能力。

例：已知x，y∈R+，且2x+y=1，則+的最小值為______。

在前面我們已經用多種方法解決了本例題，在平時最常用的、最簡潔的方法還是“1”的代換，可歸納為：已知“和”為定值，求“和”的最值問題。為了更好地活用“和”為定值的條件，在教學中可以給出變式，達到舉一反三的效果。

變式1：已知x，y∈R+，且+=1，則x+y的最小值為______。

點評：x+y=（+）（x+y）=10++≥10+2=16，當且僅當=時取到等號。

變式2：已知x，y∈R+，且9x+y=xy，則x+y的最小值為_________。

點評：因為x，y∈R+，且9x+y=xy，所以+=1，就回到了變式1，充分挖掘題目中“和”為定值的隱含條件，就迎刃而解。

變式3：設a>b>c，不等式+≥恒成立，則m的最大值為______。

點評：因為a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，a-c>0，所以變式3的原不等式等價為[（a-b）+（b-c）]（+）≥m恒成立的問題，[（a-b）+（b-c）]（+）=2++≥2+2=4，當且僅當=，即a+c=2b時取到等號，所以m的最大值為4。

變式4：已知x，y，z∈R+，且x+y+z=2，則++的最小值為_________。

點評：++=（++）（x+y+z）=（3++++++）≥（3+2+2+2）=，當且僅當x=y=z時取到等號。

可見，我們在教學中對一些典型例題進行變式或引申是很有必要的，雖然這里有多個題目，但都屬于已知“和”為定值，求“和”為最值的問題，通過多解一題的變式，不僅達到了復習鞏固的目的，還可以挖掘學生思維的深度。同時我們在本例（已知x，y∈R+，且2x+y=1，則+的最小值為________）的一題多解的基礎上通過變式訓練，將其解題的思想方法進行整理提煉，升華為多題一解，來提高學生的探究能力及學習數學的興趣。

顧泠沅教授曾說過：“變式教學是我國中學數學課堂教學的一大法寶。”變式教學其實是一類“體系”教學即教師引導學生由特殊到一般、由一般到特殊多視野認知同一類體系的數學問題的循環過程，在數學課堂中恰當地運用變式教學可以有效促進學生對概念本質的理解，培養學生思維的科學性、深刻性和變通性，培養學生的發散思維，加深學生的思維深度，還能提高學生解決問題的能力。變式教學是將學生從“題海”中解脫出來的一種重要途徑，同時也使學生在課堂上迸發了學習的思維火花。

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