探究課本習題升華數學素養

秦小龍

摘要：數學教育的目的是提高學生的數學素質，進而提高學生的探究拓展能力，而教材是實現課程目標、實施教學的重要資源。由單墫主編的蘇教版教材充分體現了數學課程標準的基本理念。筆者通過一道課本探究拓展題的求解、延伸和拓展，讓學生通過自主探究，發現和提出新的問題，在分析和解決問題的過程中，收獲了成功的喜悅，積累了數學基本活動經驗，使學生的數學素養得到了升華。

關鍵詞：課本習題；探究拓展；數學素養；三角形內心；向量表示

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）17-072-2

一、問題的提出

蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者；在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈。”筆者認為，學生的數學學習活動不應只局限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學教學還應引導學生進行自主探究、動手實踐等學習活動。在這方面，教材起到了很好的引領和示范作用。蘇教版普通高中課程實驗教科書《數學》在課后習題和復習題部分設置了不同層次的欄目：“感受·理解”、“思考·運用”及“探究·拓展”，其中“探究·拓展”欄目就是著眼于鼓勵學生探究、創新，所選問題充分關注探究性、創造性和開放性，充分激發學生的學習興趣，開拓學生的思維，培養學生的創新能力和核心素養。在日常的數學教學中，筆者鼓勵學生對“探究·拓展”欄目下的問題進行聯想和拓展，學生在處理這些問題時迸發的思維火花，經過老師的有效點撥，往往能收獲意想不到的成果。

蘇教版必修4 P84上的一道探究拓展題：已知向量OA，OB，OC滿足條件OA+OB+OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|，求證：△ABC是正三角形。問題本身不難理解，OA+OB+OC=0表明O是△ABC的重心，|OA|=|OB|=|OC|表明O是△ABC的外心，因此△ABC是正三角形很好理解，關鍵是教材P82例2由OA⊥BC，OB⊥AC可推知O是△ABC的垂心，而對于三角形的幾個“心”，高中學生的印象還是比較深刻的，既然有了重心、垂心、外心，很自然就會促使學生去想三角形內心的情況是怎樣的？是不是也有類似的、比較簡潔的向量表達形式？教材在探究拓展欄目中設置了這樣一道習題，確實激發了學生的學習興趣和求知的欲望。

很多學生通過翻閱資料和上網搜索找到了一個公認的最漂亮的向量等式a·OA+b·OB+c·OC=0，但是普遍反映很難證明。筆者將學生處理該問題時的迸發一些思維火花放大和聚攏，和學生一起將問題成功解答。在此過程中不僅學生收獲了發現問題、解決問題的成就感，老師在分析問題的過程中也拓展了思維空間，真正實現了教與學的“雙贏”，現整理出來與大家分享。

二、問題的解決

1.把向量轉化成實數

該問題敘述明確，給出的向量等式整齊、和諧，是一個對稱式，非常美觀，但直接用卻很難得到結果，因此要想辦法先消掉一個向量，怎么消呢？聯想到必修5利用向量證明正弦定理的方法，找一個與其中一個向量垂直的向量去乘以等式的兩邊，把向量問題轉化為實數這一樸素的思想方法。

方法1：作輔助向量n⊥OA，且|n|=|OA|，由已知可得b·n·OB+c·n·OC=0，即b·|n|·|OB|·cos（∠AOB-90°）+c·|n|·|OC|·cos（270°-∠AOC）=0，

∴b·|n|·|OB|·sin∠AOB-c·|OA|·|OC|·sin∠AOC=0，

∴2bS△AOB-2cS△AOC=0，設O到AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，則bch1-cbh2=0，

∴h1=h2，同理可得h2=h3，所以O為△ABC的內心。

點評：課本是知識的載體，也是方法的源泉，我們要充分認識到課本的重要性，更要多角度的解讀課本，盡可能多的發揮課本的功能。

2.挖掘等式的結構特點

從結構上分析，該等式左邊是三個向量的和，右邊是0，類似于OA+OB+OC=0，所以想到能否轉化成重心問題來研究呢？

方法2：分別作向量OD=a·OA，OE=b·OB，OF=c·OC，∴原等式即為OD+OE+OF=0，易得O為△DEF的重心。

∴S△ODE=S△ODF=S△OEF=13S△DEF，

∴12OD·OF·sin∠DOF=12OD·OE·sin∠DOE，

12a·|OA|·c·|OC|·sin∠AOC=12a·|OA|·b·|OB|·sin∠AOB，

∴cS△AOC=b·S△AOB。設O到AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，則bch1-cbh2=0，

∴h1=h2，同理可得h2=h3，所以O為△ABC的內心。

點評：該方法的得證來自于一次偶然的嘗試，然而，偶然之中也有必然性。向量是中學數學知識的網絡交匯點，它能與平面幾何、解析幾何、三角、數列、不等式等內容交叉滲透，使數學問題的情境新穎別致，自然流暢。此方法還能解決以下類似問題：

1.已知O在△ABC的內部，有AB=4OB+5OC，則△OAB與△OBC的面積之比為。

2.△ABC內接于以O為圓心的圓，且3OA+4OB+5OC=0，則△ABC的面積S=。