為什么負負得正

洪高峰

“負負得正”或許同學們已經非常熟悉并且能熟練運用.但是為什么負負得正？你思考過這樣的問題嗎？

19世紀法國著名作家司湯達小時候很喜愛數學，用他自己的話說，數學是他的“至愛”.但當老師教到“負負得正”這個運算法則時，他一點都不理解，希望有人能對負負得正的緣由做出解釋.

可是，他所請教的老師、同學都不能為他釋此疑問.

可憐的司湯達被“負負得正”困擾了很久，最后，在萬般無奈之下只好接受了它.他一直將數學視為“放之四海而皆準的真理”，認為數學可用來“求證世間萬物”，可是，“負負得正”動搖了他對數學與數學教師的信心.

兩百多年后的今天，我們能不能回應一下司湯達的疑惑？

生活中有人嘗試這樣解釋：敵人的敵人是朋友；雙重否定表示肯定；翻一次杯子杯口朝下，再翻一下杯子杯口朝上……這些形象的解釋或許能解釋你心中的疑惑，但是必須說明的是，整數乘法的“負負得正”首先是一種規定.從自然數乘法出發，規定“負正得負，正負得負，負負得正”，就得到了整數的普通乘法.對“負負為何得正”的直接回答，可以是：“就是這么規定的.”但這顯然不是愛刨根究底的小讀者們想得到的答案.

美國數學史學家和數學教育家莫里斯·克萊因認為，“如果記住現實意義，那么負數運算以及負數和正數混合運算是很容易理解的”.

他用“兩次負債相乘，結果為收入”的例子解決了司湯達的疑問：一人每天欠債5美元.給定日期（此時負債記為0美元）3天后，欠債15美元.如果將5美元的債記成-5，那么每天欠債5美元，欠債3天，可以用數學來表達：3×（-5）.

同樣，一人每天欠債5美元，那么給定日期（此時負債記為0美元）3天前，他的財產比給定日期的財產多15美元.如果我們用-3來表示3天前，用-5表示每天欠債，那么3天前他的經濟情況可表示為（-3）×（-5）=+15.

蘇聯著名數學家蓋爾范德則作了另一種解釋：

3×5=15：得到5美元3次，即得到15美元；

3×（-5）=-15：付5美元罰金3次，即付罰金15美元；

（-3）×5=-15：沒有得到5美元3次，即沒有得到15美元；

（-3）×（-5）=+15：未付5美元罰金3次，即得到15美元.

如果司湯達生活在20世紀，遇見良師如莫里斯·克萊因和蓋爾范德，那么，他對數學的信賴、推崇和熱愛一定會保持終生.對問題進行質疑是非常好的學習習慣，我們在學習新知的過程中，要有質疑的精神，多問幾個“為什么”，用科學的精神追求問題的本質.

（作者單位：江南大學附屬實驗中學）