巧用數(shù)軸解決行程問題

陳伯卿

第一次接觸數(shù)軸，知道了數(shù)軸的三個要素：原點、正方向和單位長度；明白了數(shù)軸上的點與數(shù)的關(guān)系.有些題目只要畫出數(shù)軸就一目了然，這種解題方法就是數(shù)形結(jié)合.

問題1 已知數(shù)軸上有順次三點A、B、C.其中A點坐標為-20，C點坐標為40，一只電子螞蟻甲從C點出發(fā)，以每秒2個單位的速度向左移動.

（1）當(dāng)電子螞蟻甲走到BC的中點D處時，它離A、B兩處的距離之和是多少？

（2）這只電子螞蟻甲由D點走到BA的中點E處時，需要幾秒鐘？

初讀這個題目我覺得非常復(fù)雜，螞蟻的移動方向是向左，又有線段的中點，腦袋都快炸了.但是我畫完數(shù)軸仔細一分析，這不就是一個行程問題嘛！放在數(shù)軸的問題背景下，無非就是增加了一個負方向而已，不妨用線段的長度來表示對應(yīng)點之間的距離.

解：（1）因為D是BC的中點，所以DB=DC，DA+DB=DA+DC.因為AC=[-20]+[40]=60，所以DA+DB=60，即電子螞蟻甲離A、B的距離之和是60.

（2）因為E、D分別是AB、BC的中點，所以EB=[12]AB，BD=[12]BC，所以BD+EB=[12]（AB+BC）=30，30÷2=15（秒）.

問題2 已知數(shù)軸有三個點A、B、C，其中A點表示的數(shù)為20，B點表示的數(shù)為80，C點表示的數(shù)為90.點P從原點O出發(fā)，沿OC方向以1單位/s的速度勻速運動，點Q從點C出發(fā)在線段CO上向點O勻速運動（點P、Q分別運動到C、O時停止運動），兩點同時出發(fā).

（1）若點Q運動速度為3單位/s，經(jīng)過多長的時間P、Q兩點相距70？

（2）當(dāng)點P運動到線段AB上時，分別取OP和AB的中點E、F，試問[OB-APEF]的值是否發(fā)生變化？若變化求范圍，若不變化求其值.

題（1）點P、Q相距70，有可能出現(xiàn)在相遇前或者相遇后，在上述行程問題的基礎(chǔ)上，還需要進行分類討論，情況更為復(fù)雜；（2）P的位置也可能出現(xiàn)在點F的兩側(cè)，要注意畫圖觀察是否有區(qū)別.

解：（1）設(shè)運動時間為t秒，則t+3t=90±70，t=5或40.因為點Q運動到O點停止運動，所以點Q最多運動30s.當(dāng)點Q到達點O時PQ=OP=30cm，之后點P再運動40s時PQ=OP=70，此時t=70s.故經(jīng)過5s或70sP、Q兩點相距70cm.

（2）如圖：

設(shè)OP=acm，點P在線段AB上，20≤a≤80，OB-AP=80-（a-20）=100-a，EF=OF-OE=（OA+[12]AB）-OE=（20+30）-[a2]=50-[a2]，所以[OB-APEF]=（100-a）÷（50-[a2]）=2.

數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法，廣泛應(yīng)用于“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，但這里的“形”不局限于幾何圖形，比如數(shù)軸，在這里就是有效工具.小作者將與之相關(guān)的運動問題聯(lián)想到了行程問題，然后給數(shù)軸上的對應(yīng)線段賦值，直觀地闡明了題目中的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題.這種面對問題無懼干擾、究其本質(zhì)的方法，值得同學(xué)們借鑒. （指導(dǎo)教師：黃荷燕）