與行列式有關(guān)的一些比較

房喜明

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

0 前言

線性代數(shù)是高校理工專業(yè)本科學(xué)生的必修課程,比較思想在該學(xué)科中涉及的方面比較多.通過比較,有助于學(xué)生對線性代數(shù)有關(guān)理論和方法的掌握.行列式是線性代數(shù)的一個重要組成部分[1-5],也是整個線性代數(shù)理論的基礎(chǔ).熟練掌握行列式的有關(guān)理論和方法，對后續(xù)理論學(xué)習(xí)和學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng),以及其他學(xué)科學(xué)習(xí)均有益處.行列式的相關(guān)知識如下:數(shù)域、排列的定義,排列的逆序數(shù),排列的一個對換,對換對排列逆序數(shù)的影響,n階行列式的定義,特殊行列式的計算公式,行列式的性質(zhì),行列式中某個元素的余子式和代數(shù)余子式概念,行列式按某一行（或列）展開的定理,行列式的計算方法,求解線性方程組的克萊姆法則,用行列式的值判定系數(shù)矩陣為方陣的齊次線性方程組解的情況等.本文中,筆者探討一些與行列式有關(guān)的比較思想.

1 一些與行列式有關(guān)的比較思想

1)關(guān)于行列式的定義,通常是在給出2階和3階行列式定義的基礎(chǔ)上逐步定義n階行列式[1,5].對于2階和3階行列式,為便于計算,給出了對角線法則的計算方法,但4階以上的行列式?jīng)]有對角線法則.針對隨著階數(shù)增加,計算行列式的對角線法則消失這種情況,可以用定義分別計算低階和高階行列式,并將之與對角線法則計算方法所得結(jié)果進(jìn)行比較.

通過比較可以看出,前一個例子與用對角線法則計算結(jié)果一致,但第2個例子如果也采用類似3階行列式的對角線法則計算,則是錯誤的.

2)在n階行列式的定義中,有按行和按列取元素作乘積2種定義方法,這2種方法可以統(tǒng)一如下:每一項都是取自不同行、不同列的n個元素的連乘積,在其前面添加1個符號.這里存在比較思想,可以用實(shí)例顯示出2種定義方法的一致性.如果用定義計算行列式,選取元素的方式會影響計算過程.

前一個例子分別按行和按列取元素作乘積計算同一行列式,顯示2種定義方法一致.后一個例子采用按行選取元素的定義計算比較簡便.

3)在行列式中確定某一項前面的符號存在比較思想.行列式中取自不同行、不同列的n個元素的連乘積要想成為行列式中的1項,其前面需添加1個符號,該符號的確定方法有3種.現(xiàn)給出實(shí)例將3種確定符號的方法進(jìn)行比較,以體現(xiàn)三者的一致性.

例4確定5階行列式中a21a34a15a42a53的符號.

4)在行列式計算方面存在比較思想.化為上(或下)三角形行列式和降階法是計算行列式的2種常用方法,這2種方法也可以綜合使用.下面以實(shí)例對這2種方法的特點(diǎn)與結(jié)果的一致性進(jìn)行比較,以便更好地掌握這2種方法.

5)在行列式中某個元素aij的余子式和代數(shù)余子式相關(guān)問題存在比較思想.行列式中某個元素的余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān),而與該元素本身的值無關(guān),也與該元素所在行和列的其他元素的值無關(guān).為掌握和理解這一知識點(diǎn),給出2個實(shí)例進(jìn)行比較.

2個行列式中的(2,2)位置元素雖然不同,但這個位置元素的余子式和代數(shù)余子式都分別相同.

6)在行列式的計算與矩陣的初等變化方面存在比較思想.用行列式的性質(zhì)計算行列式的值與用矩陣的初等行變換化矩陣為階梯形或行最簡形矩陣時,雖然是對2種不同對象的操作,一個用等號連接,另一個用箭頭連接,但由于有些操作相同,故容易混淆.引入1個例子進(jìn)行比較,可以區(qū)分兩者的異同.

例8求行列式的值,并將矩陣化為階梯形矩陣.

7)用行列式的值判斷線性方程組解的情況存在比較思想.用行列式的值只能判斷系數(shù)矩陣為方陣的齊次和非齊次線性方程組解的情況.其中對于非齊次線性方程組,用行列式只能判斷有唯一解的情況,其他情況不能判斷.這種方法與用矩陣的秩判斷線性方程組解的情況相比,具有局限性.為區(qū)別這2種方法,現(xiàn)將其使用情況分別列表進(jìn)行比較,詳見表1.

表1 用矩陣的行列式的值或秩判斷線性方程組解的情況對比表

2 小結(jié)

本文介紹了線性代數(shù)理論中一些與行列式有關(guān)的比較知識和實(shí)例,線性代數(shù)中其他涉及比較思想的知識還有:克萊姆法則與初等行變換法解線性方程組的比較;使用配方法和矩陣初等行列變換法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的比較;有限維線性空間的線性變換在不同基下的矩陣的比較;實(shí)有限維線性空間上內(nèi)積的不同定義方式(進(jìn)而構(gòu)成不同的歐氏空間)的比較等.通過比較,可以加深學(xué)生對線性代數(shù)理論和方法的掌握,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).