探索數學模型在金融中的具體應用

吳春雪

（貴州財經大學數學與統計學院，貴陽 550025）

引言

數學是非常嚴謹具有很輕的邏輯性的一門學科，各個行業分析預測一些事物都離不開這一大有力工具，金融市場的分析研究也不例外。在金融領域中，所研究的對象之間的關系必然存在著一些數學上的聯系，可以先對所研究對象抽象成數學的形式，這樣數學模型就做好了。金融市場的交易者需要利用數學模型進行分析預測，這樣才能更好地掌握食物的發展方向或者是進行利潤收益的一個具象化計算。

一、數學理論模型的發展及金融市場的發展概況

眾所周知，金融數學是一門邊緣性的學科，金融市場的運作是極其復雜的，這就需要運用很多金融數學理論知識，并且還要把一些數學研究方法運用其中，這樣才能有效地解決金融市場中的諸多問題，比如定價問題、利潤問題等。數學模型具體運用到金融領域最早是在1900年，當時Louis Bachelier（路易·巴舍利耶）提出了一個投機理論，這個理論把概率論直接運用于證券價格的分析，引起了不小的轟動，路易·巴舍利耶被譽為現代量化金融的奠基者。在1959年Markowitz（馬科維茨）提出了期望方差模型，此模型是當時現代金融理論研究時期中最有影響力的模型概念。這一模型概念一經提出，很多的數學家和金融經濟學家都開始了對期望方差模型在金融市場的應用的這一領域的具體研究工作，在此過程中此模型概念逐步得到了完善，并且產生了許多新的證券組合選擇模型。1973年，Black與Scholes提出“基于無紅利支付股票的任何衍生證券的價格必須滿足一組微分方程”這一理論概念，這一理論被譽為金融市場研究中的革命性成果。國際經濟不斷發展，金融市場體系在逐漸得到完善，數學模型在金融市場研究中的巨大作用不可小覷，數學模型在金融領域中的運用已然成為研究金融市場的關鍵性的技術。

二、數學模型在金融中的具體應用

（一）基礎模型

1.單利與復利。大家都知道，我們存款會在一定時間內獲得一定的利息，貸款會繳納一部分利息。而利率是利息與本金的比值。當存款的利率高時，會吸引存款者進行存款。但在這種情況下，銀行就會出現負債過高的現象，此時，銀行會通過一些手段進行獲利，比如提高貸款的利率。但是，這樣又會使想要貸款的企業望而卻步，所以銀行的利率過高會阻礙金融經濟的發展。單利和復利是銀行計算利息的方式。利息的計算只與本金有關的叫作單利，如果設本金為m，年利率是s，n年后本金和利息的總計A就是m（1+ns），這就是所說的單利模型。復利模型與本金和利息都有關系，因為利息在一定時間內還會產生利息。

2.現值理論。所謂現值理論，就是指資金現在的價值，最終價值和折現情況。如果m代表本金，銀行的存款利率是s，n年之后本金和利息的總計為最終價值，記為Q。通過復利公式 Q=m（1+s）n，我們可以知道本金 m 就等于終值與（1+s）n的比值。1/（1+r）n就是折現系數。現在生活中，很多商家都會利用銀行按揭搞一些促銷活動，這種活動都是把客戶的信譽作為一個擔保，客戶可以選擇按揭的期限和方式。

（二）證券投資組合模型

1.期望方差模型。期望方差模型是用來減小投資風險的有效數學模型。投資者會拿出一筆錢用來投資不同的證券，這樣可以有效地使風險分散，這無形中就降低了投資的風險。若我們把預期收益率作為一個坐標系的縱坐標，把預期的風險值作為坐標系的橫坐標，那么每一個符合要求的證券的投資組合就固定的代表這個坐標系上的一個點，所有的符合要求的證券投資組合就可以成為一個集合。

2.其他證券組合選擇模型。幾何期望收益模型、保險首要模型、隨機優勢模型、最優后悔比率模型等也是金融領域很常見的數學模型，發揮了巨大的作用。

（三）資產定價模型

1.資本資產定價模型。資本資產定價模型簡稱為CAMP模型，此模型大多用于分析平衡態市場下的怎樣處理資產風險和收益以及風險關系的具體問題。如果市場處于平衡狀態，其中的大多數較為理性的資產持有者會選擇投資不同的證券。Sharpe和Lintner是曾經榮獲了諾貝爾經濟學獎的，他們提出了一條非常嚴謹的假設，推導出了下面的資本資產定價模型：

2.套利定價模型。套利定價模型簡稱為ATP模型，其反映的金融領域的理論與CPAM模型不同。我們都知道，在金融市場中，如果兩個一模一樣的商品以不同的價格對外售賣，那么價格低的肯定先會先賣出去。這個ATP模型就是說，當兩個一樣的商品以不同的價格售賣，那么肯定會出現套利機會。這個理論只是闡述了市場在平衡態時資產定價的結構情況，具有一定的局限性，后來的很多研究者針對這一理論提出了很多完善的概念并且廣泛運用。

結語

金融市場是個非常復雜的領域，里面存在著很多值得研究的問題。然而，世界在不斷進步，金融市場體系在逐步地進行完善，我國要想提高金融市場核心競爭力，掌握金融市場操作的關鍵技術，就必須加強研究數學模型在金融市場中的具體應用，創新引領時代的金融行業發展，探索出更多新的數學模型運用到金融領域之中，這樣能更好地保證金融市場的穩定運行，保障人民的財產安全。