淺論高等數學中的極限思想

摘 要：高數中許多重要的概念如導數、微分、積分等均建立在極限基礎之上，而極限思想蘊涵著豐富的哲學理論，深刻領悟這些哲學理論對掌握高等數學的學習有著極其重要的意義。

關鍵詞：高等數學極限思想哲學理論

高等數學極限思想里蘊涵著豐富的哲學理論。在教學中，教師如果能充分挖掘高等數學中的哲學理論，用哲學的觀點和思維方法來指導高等數學教學，不僅可以培養學生的辯證思維，提高學生的哲學素養，還可以使學生從新的角度來認識數學、理解數學，感受數學的思想精髓。

極限思想是一種研究變量變化趨勢的數學思想，體現了辯證法思想。理解極限概念及其思想中所蘊涵的哲學理論，對掌握高等數學有著極其重要的意義。

一、極限思想里體現著對立統一律，極限思想是從有限到無限的工具和橋梁，無論是概念的引入還是概念本身，都體現了變與不變、過程與結果、有限與無限、近似與精確的對立統一。例

如，對于數列{an}來說，若，當n→∞，其極限為2；在n的逐漸變大的過程中，數列中的{an}每一項的值隨著n在不斷變化，這個過程是動態的，項數也是有限的；但是，當項數n無限增大時，即n→∞時，an的值無限趨近于一個確定的常數2，這個無限運動變化的結果是一個數值，因此在極限思想中無限是有限的發展，有限是無限的結果，它們既相互對立又相互統一。

二、極限思想里體現著量變引起質變的規律，當量的變化達到一定程度會引起質的變化。質變不僅可以完成量變，而且為新

的量變又開啟了航程。如，當n為有

限項時，sn是無窮小量，但當n→∞時，量變卻引起sn“質”的變

化，，此時sn卻不再是無窮小量了。

在高等數學導數概念的引入例子中，為求曲線y=f（x）在點P處的切線的斜率，首先在曲線上另取一點Q，先得割線PQ的斜率；然后讓點Q沿曲線y=f（x）無限地趨近點P，割線的極限位置就是曲線在點P處的切線，而割線PQ斜率的極限值就是曲線y=f（x）在點P處切線的斜率。在點Q沿曲線無限接近點P的變化過程中，割線PQ的斜率在不斷地發生變化，無限接近切線斜率，但這只是一個量變的過程，它表示的終究是相應割線的斜率，而不是切線的斜率，直到點Q到達極限位置即點Q與點P重合時，割線PQ的斜率才發生質變，成為曲線y=f（x）在點P處切線的斜率。

以上兩類極限思想里體現了量變引起質變的哲學理論。

三、極限思想里面蘊含哲學理論否定之否定律，任何事物的內在都包含著肯定和否定兩個方面，當由肯定達到對自身的否定，并再由否定達到新的肯定，謂之為否定之否定律。高等數學中的極限概念的形成和發展恰符合否定之否定律。在概念形成之初，概念得到肯定，但隨著研究的深入，概念就會不完善，從而被否定，進一步研究完善得到新的肯定。就極限之概念，最早引入變量極限概念的是16世紀英國數學家瓦里斯，他定義：“變量的極限是變量所能最大程度逼近的一個常數，使得它們的差能夠小于任何給定的量。”這是極限概念的雛形；接著17世紀法國數學家柯西較完整地闡述了極限概念：“當一個變量逐次所取得的值無限趨近一個定值，最終使變量的值和該定值之差要有多小就有多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值”，柯西的極限概念仍然是不嚴謹的，沒有達到徹底嚴密化的程度；18世紀維爾斯特拉斯為了去除極限概念中的直觀痕跡，他提出了極限的精確定義：即ε-N定義，給微積分提供了嚴謹的理論基礎。從極限概念日臻完善的過程反映了哲學中否定之否定律，經過一個周期的運動回到了起點，在運動中不斷否定完善又肯定，最終又高于起點。

由此可見，高等數學的極限思想蘊含著許多哲學理論，數學與哲學關系緊密，因此在高等數學的教學中，不能忽視哲學理論的滲透，這樣才能更好地發展數學，保持數學之樹常青。當然，引導學生領悟數學思維中的哲學理論和在哲學理論的指導下進行數學思維培養，是提升學生數學素養和提高學生分析問題、解決問題能力的重要方法和手段，作為教育工作者應該重視在教學過程中滲透哲學理論，讓學生從新的角度來認識數學、理解數學，感受數學的思想精髓。

作者簡介：

黃銀海，重慶三峽職業學院，副教授，數學教學。

（作者單位：重慶三峽職業學院）