真比例導引反高速目標攔截能力分析

周 覲, 雷虎民

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710043)

0 引 言

近年來,臨近空間高超聲速飛行器的飛速發展對我國戰略防御以及國土防空構成了嚴峻威脅,研究反臨近空間高超聲速目標的先進制導控制技術迫在眉睫[1-2]。

比例導引制導律形式簡單且易于彈上實現,在現役防空武器系統中得到了廣泛應用[3]。在未來一段時間內,比例導引以及在其基礎上發展而來的擴展比例導引、偏置比例導引等制導規律仍將作為主流制導律以應對臨近空間高超聲速目標威脅。因此,許多專家學者開展了面向高速目標攔截作戰的比例導引制導律設計[4-6]。現有文獻研究中基本上都是以特定的初始條件來檢驗制導律的有效性,對于初始條件的設置沒有進行深入的考慮。事實上,末制導階段的初始條件也是中制導階段的終端條件,二者依靠中末制導交接班緊密銜接。末制導初始條件的設置對于中制導段的彈道設計以及終端條件約束設置起著決定性作用。因此在工程設計中,彈道設計人員更加關注末制導初始條件以及攔截能力,并以此為基礎對中制導以及中末制導交接班設定條件約束。

捕獲區域是分析制導律攔截目標能力的重要評判指標,其一般定義為:有效攔截目標并滿足一定約束條件的攔截彈初始狀態集合[7]。文獻[8-11]對于純比例導引制導律的捕獲區進行了深入分析,但是其推導過程十分復雜,并且所分析的純比例導引方式在現役武器系統尤其是裝備尋的導引頭的攔截彈上應用較少。借助于導引頭測量得到的彈目相對運動信息,現役武器廣泛采用真比例制導律形式,因此開展真比例導引的捕獲區分析更具有工程針對性。文獻[4-6]采用蒙特卡羅仿真的方法,通過多次模擬打靶得到了真比例導引以及反比例導引制導律捕獲區的邊界條件,雖然具有一定的借鑒意義,但是缺乏理論分析的支撐。文獻[12-14]借鑒文獻[8-10]的研究思路,利用微分幾何的方法在改進極坐標系下推導得到了真比例導引捕獲區的相平面圖,但是在相平面內分析攔截彈的狀態約束條件比較抽象,難以與實際飛行參數進行對應。文獻[15]對能量約束下的動能攔截彈逆軌攔截攻擊區進行了建模,基于攔截彈和目標的機動范圍在攻擊區中的投影推導得到了制導捕獲區與逃逸區的計算方法,但是其推導過程只考慮了攔截彈的能量約束以及過載約束限制,未能結合具體的導引規律,所以得出的捕獲區雖在攔截彈的能力范圍內,但是很難找到一種合適的制導律將攔截彈精確導引至相應位置。

針對以上研究中存在的不足,本文對真比例導引反高速目標的攔截能力進行了理論性分析,推導得到了攔截彈成功攔截目標的充分必要條件以及目標速度前置角范圍約束,給出了攔截非機動目標作戰的靜態捕獲區以及攔截高速機動目標作戰的動態捕獲區構成,為末制導初始條件的設置、中末制導交接班狀態約束以及中制導段彈道優化設計提供了一定的借鑒。

1 彈目相對運動與攔截條件分析

1.1 彈目相對運動分析

雖然臨近空間高超聲速目標具有較高的不確定性,但是依靠中末制導交接班前期多傳感器探測信息支援以及合理優化交接班時刻彈上導引頭的搜索方式,總能夠以較高的概率探測截獲目標[16-17]。在轉入末制導后,一般認為攔截彈和目標的速度大小保持不變[18],目標速度超過馬赫數5,巡航速度可達馬赫數6～8[19],采用雙脈沖推力發動機的防空導彈末速一般接近1 000 m/s[20-21],由于攔截彈和目標較大的相對速度,末制導持續時間很短,所以在末制導階段二者所受到的重力影響可以近似忽略[22]。為克服攔截彈的氣動舵面在臨近空間稀薄大氣中操縱效率低的缺陷,加快指令響應速度,臨近空間防御攔截彈普遍采用直接力控制或者直接力/氣動力復合控制[23-24],而且直接力的周期T很小,對制導指令的響應時間小于0.1 s[25]。基于以上分析,做出如下假設條件。

假設1裝備在攔截彈上的導引頭最大作用距離為Rmax,如果攔截彈和目標之間的距離小于Rmax,則認為導引頭可以成功探測并捕獲目標。

假設2在末制導階段,認為攔截彈主動尋的時間較短,目標的速度VT和攔截彈的速度VM大小保持不變,速度比ρ=VT/VM為一個固定的常數,二者的加速度aT和aM只對速度方向產生影響。

假設3忽略攔截彈和目標之間過載加速度到實際控制量之間的指令延遲影響,忽略末制導過程中的重力影響。

在垂直平面內攔截彈和目標相對運動如圖1所示。

圖1 攔截彈和目標運動關系圖Fig.1 Diagram of the relative motion between the interceptor and target

圖1中XOY表示地面慣性坐標系,M和T分別表示攔截彈和目標,二者之間的相對距離為R,攔截彈和目標之間的連線稱為視線,視線與X軸之間的夾角為視線角q。θM和θT分別為攔截彈和目標的彈道傾角,γ和η分別表示攔截彈和目標的速度矢量與視線之間的夾角,稱為速度前置角。

從圖1中可以得到攔截彈和目標的運動方程為

(1)

(2)

(3)

γ=θM-q

(4)

(5)

(6)

(7)

η=q-θT

(8)

(9)

(10)

1.2 攔截條件分析

定理1忽略末制導階段重力加速度的影響,攔截彈成功攔截目標的充分必要條件為

sinγ=ρsinη

(11)

式中,ρ=VT/VM>1為攔截彈和目標的速度比。

證明將式(11)代入到式(10)中可以得到

(12)

根據式(11)可以進一步求解得到cosγ的表達式為

(13)

將式(13)代入到式(9)中可以得到

(14)

證畢

通過式(11)可以發現,如果攔截彈滿足攔截條件,那么

-1≤ρsinη≤1

(15)

所以為保證攔截彈成功攔截目標,必須要求目標的速度前置角η滿足

(16)

從式(16)可以發現,目標速度前置角所允許的范圍與目標和攔截彈的速度比密切相關。隨著目標與攔截彈速度比ρ的增大,目標所允許的速度前置角范圍逐漸變小。

2 真比例導引攔截能力分析

2.1 非機動目標攔截能力分析

在中末制導交接班結束后,攔截彈進入末制導狀態,如果交接班良好,攔截彈和目標滿足攔截條件(11),并且目標機動性很小,那么攔截彈基本不需要任何制導控制指令就可以成功攔截目標;如果攔截彈和目標不滿足條件(11),那么就需要依靠末制導律的作用對攔截彈狀態進行調整,使修正后的攔截彈與目標速度前置角滿足攔截條件(11),以確保對目標的成功攔截。

鑒于真比例導引的簡單形式以及在國內外防空武器系統中的廣泛應用,本文主要分析真比例導引的攔截能力。真比例導引的加速度指令表達形式為

(17)

Vc=VMcosγ+VTcosη

(18)

定義1真比例導引的靜態捕獲區(static capture region,SCR)是在攔截彈的速度前置角γ和目標的速度前置角η所組成的(γ,η)平面內,針對非機動高速目標攔截情形,只要中末制導交接班結束即末制導起始時刻,攔截彈的初始速度前置角γ0和目標的初始速度前置角η0位于靜態捕獲區內,依靠真比例導引作為末制導律,攔截彈都能成功攔截目標的區域。

定理2針對非機動高速目標攔截作戰而言,在認為目標和攔截彈的速度比ρ=VT/VM>1并且保持不變的情況下,應用真比例導引得到的SCR可以表示為

SCR=(A1∩B1)∪(A2∩B2)

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

(23)

f(γ,η)=η-arcsin(sinγ/ρ)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

證明針對非機動高速目標攔截作戰情形,目標加速度aT=0,則式(7)可以進一步表示為

(31)

對式(8)進行求導,并將式(31)代入,可以得到

(32)

對于式(4)進行求導,并將式(3),式(17)和式(32)代入,可以得到

(33)

結合目標速度前置角滿足的約束條件(16),認為目標速度前置角為小量,并且滿足,

cosη≈1

(34)

將式(34)代入到式(33)中進行化簡,可以得到

(35)

從式(35)可以看出,在由攔截彈速度前置角γ和目標的速度前置角η所組成的(γ,η)平面內分析,目標的速度前置角η的變化與攔截彈的速度前置角γ的變化表現為曲線(35)的形式。即,在目標不機動的情形下,目標的速度前置角η由攔截彈的速度前置角γ、真比例導引系數N、以及目標和攔截彈的速度比ρ決定。

進一步分析,如果攔截彈的速度前置角變化很小,并且滿足

cosγ≈1

(36)

將式(36)代入到式(35)中,可以得到

(37)

對式(37)進行積分,可以得到

(38)

即在應用真比例導引作為末制導律的情況下,目標的速度前置角η和攔截彈的速度前置角γ在(γ,η)平面內將會表現為式(38)所示的斜率為1/(N(1+ρ)-1)的直線,其中γ0和η0分別為末制導起始時刻攔截彈速度前置角的初值以及目標速度前置角的初值。

證畢

由于攔截彈成功攔截目標的條件為式(11),當攔截彈和目標不滿足式(11)時,在末制導律的作用下,攔截彈和目標的相對狀態將以式(33)的變化形式,向式(11)進行調整。如果最終收斂到式(11)則能夠成功攔截目標,如果不能收斂到式(11)則會造成攔截彈脫靶。所以臨界狀態應為式(33)與式(11)相切的情形。

對式(11)進行求導,并將式(13)代入到式(33)中進行聯立,可以得到

(39)

可以得到切點為式(27)～式(30)所示的表達形式,即為靜態捕獲區的邊界點。

圖2給出了導航系數N=5,目標和攔截彈的速度比ρ=2情形下的真比例導引靜態捕獲區。分析圖2可以得到以下結論。

圖2 N=5,ρ=2的靜態捕獲區Fig.2 Diagram of SCR with N=5 and ρ=2

(1)結合式(16),由于目標和攔截彈的速度比ρ=2,目標速度前置角范圍為-30°≤η≤30°,如果目標速度前置角超出此范圍約束,目標將位于靜態捕獲區之外,應用真比例導引將無法攔截目標。

(2)針對非機動高速目標攔截作戰而言,如果中末制導交接班時攔截彈的位置保持不變,即彈目視線角保持為定值,那么攔截彈的速度前置角必須約束在一定的范圍內才能成功攔截目標。如圖2所示,如果目標速度前置角為0°,那么靜態捕獲區內攔截彈的速度前置角范圍為[-170°,170°],如果目標速度前置角為10°,那么靜態捕獲區內攔截彈的速度前置角范圍為[-130°,160°]。

2.2 機動目標攔截能力分析

第2.1節分析了目標不機動情況下的真比例導引靜態捕獲區,在真實的攔截情形中,目標可能會采取不同的機動形式來規避攔截彈的攻擊,因此有必要對靜態捕獲區進一步研究得到目標機動情況下的動態捕獲區。

定義1真比例導引的動態捕獲區(dynamic capture region,DCR)是在攔截彈的速度前置角γ和目標的速度前置角η所組成的(γ,η)平面內,針對機動目標攔截作戰而言,只要中末制導交接班結束即末制導起始時刻,攔截彈的初始速度前置角γ0和目標的初始速度前置角η0位于動態捕獲區內,依靠真比例導引作為末制導律,攔截彈都能成功攔截目標的區域。

定理3針對機動高速目標攔截作戰而言,在認為目標和攔截彈的速度比ρ=VT/VM>1并且保持不變的情況,目標的最大機動加速度為aTmax,應用真比例導引得到的DCR可以表示為

DCR=(A1∩B1∩C1)∪(A2∩B2∩C2)

(40)

其中

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

證明對式(8)進行求導,并將式(7)代入可以得到

(47)

對式(4)進行求導,并將式(3)和式(47)代入可以得到

(48)

將式(34)和式(36)代入到式(48)中得到

(49)

根據微分對策相關理論[26-28],末制導過程中目標的最佳機動形式為垂直于視線方向施加最大的加速度,因此,假設目標加速度aT始終為其最大加速度aTmax保持不變。對于式(49)兩邊進行積分可以得到

(50)

式中,γ0和η0分別為攔截彈速度前置角的初值以及目標速度前置角的初值;t為時間。

從式(50)可以看出,在目標機動的情況下,攔截彈的速度前置角γ和目標的速度前置角η不再滿足式(38)中簡單的線性關系,而是增加了目標機動的影響項(N+Nρ-1)aTt/VT,該影響隨著末制導時間t的增加而逐漸變大。

根據定理1,攔截彈需要滿足條件(11)以確保對目標的成功攔截。將式(50)與式(11)進行聯立,可以得到

γ0-arcsin(ρsinη)=0

(51)

同樣,認為目標的速度前置角為小量,并滿足

(52)

將式(52)代入到式(51)中求解得到目標機動情況下的速度前置角表達式為

(53)

根據以上分析,目標的速度前置角的極值應該出現在末制導結束時刻,末制導結束的時間tf可以估算為

(54)

從式(53)可以看出,在目標機動情況下,目標的速度前置角η主要受到目標與攔截彈的速度比ρ,導引系數N,目標加速度aT,末制導時間tf等的影響,如果認為攔截彈的初始速度前置角為小量,那么式(53)可以進一步簡化為

(55)

結合式(16)中目標速度前置角的允許范圍以及式(55),可以得到中末制導交接班完成時刻目標速度前置角為η0,目標速度為VT,末制導時間為tf,目標和攔截彈速度比為ρ,導引系數為N條件下目標機動加速度范圍

(56)

(57)

證畢

圖3給出了導航系數N=5,目標和攔截彈的速度比ρ=2,目標最大機動加速度aTmax=5g,末制導時間tf=22 s,目標速度VT=3 112 m/s情形下的真比例導引動態捕獲區。分析圖3可以得到以下結論。

圖3 N=5,ρ=2的動態捕獲區Fig.3 Diagram of DCR with N=5 and ρ=2

(1)由于目標的機動,應用真比例導引得到的動態捕獲區相比于靜態捕獲區大大減小。在靜態捕獲區中,目標的速度前置角允許范圍只與目標和攔截彈的速度比ρ相關,而在動態捕獲區中,目標的速度前置角允許范圍還與目標最大加速度aTmax,導引系數N,末制導時間tf等相關。

(2)動態捕獲區屬于靜態捕獲區中的一部分,針對機動目標攔截作戰而言,攔截彈的位置約束相較于非機動目標攔截情形更加嚴格。在中末制導交接班完成時刻,攔截彈必須處于合適的末制導初始位置,確保目標的速度前置角位于動態捕獲區內。

3 仿真驗證

為驗證本文中對真比例導引反高速目標攔截能力理論分析的有效性以及合理性,開展以下3種情形下的數字仿真。仿真中設定攔截彈的彈上導引頭最大作用距離為Rmax=100 km,攔截彈和目標的初始參數設置如表1所示。

表1 攔截彈和目標初始參數設置

從表1中可以發現,目標和攔截彈的初始距離等于攔截彈彈上導引頭的最大作用距離,攔截彈順利進入末制導。攔截彈在末制導階段采用真比例導引,導引系數為N=5。目標和攔截彈的速度比為ρ=3 113/1 556.5=2。目標的初始彈道傾角為-180°,目標和攔截彈的初始視線角為-10°。

情形1仿真情形1的設置主要是為了檢驗真比例導引捕獲區的有效性。在本情形中,目標分別采取非機動,3g加速度機動以及5g加速度機動3種不同的運動方式,攔截彈1,攔截彈2和攔截彈3為攔截目標得到的相應攔截軌跡。通過進一步計算可以得到,仿真情形1中的目標初始速度前置角為10°,攔截彈初始速度前置角為-70°,根據式(16)和式(57)可以得到,當目標不機動時,目標速度前置角范圍為η∈[-30°,30°],當目標采取3g機動時,目標速度前置角范圍為η∈[-13.5°,13.5°],當目標采取5g機動時,目標速度前置角范圍為η∈[-5.77°,5.77°]。因此,仿真情形1的初始條件設置位于目標非機動SCR和3g機動的DCR內,而位于目標5g機動DCR外。仿真結果如圖4～圖6所示。

圖4 情形1中攔截彈和目標軌跡Fig.4 Curves of the interceptor and target trajectories in scenario one

圖5 情形1中攔截彈過載Fig.5 Curves of the interceptor overloaded in scenario one

圖6 情形1中攔截彈和目標速度前置角變化曲線Fig.6 Curves of the interceptor and target velocity heading angels in scenario one

圖4給出了情形1中攔截彈和目標的軌跡曲線,從圖中可以看到,在目標不機動以及3g機動情況下,攔截彈能夠利用真比例導引律成功攔截目標,彈道比較平滑。從圖5給出的攔截彈過載曲線也可以看出,攔截彈1和攔截彈2的過載比較小,基本在-10～20g范圍內。在目標5g機動情況下,攔截彈3脫靶,從圖5中也可以發現,攔截彈的過載在末端時刻發散,超過了一般攔截彈的可用過載范圍。圖6給出了攔截彈和目標速度前置角變化曲線,從圖中可以發現,在目標不機動情況下,目標的速度前置角和攔截彈的速度前置角近似呈現式(38)所示的線性關系,在SCR中從初始的(70,10)點運動到攔截曲線上的(10.50,5.23)點,滿足了攔截條件(11)所以成功攔截目標。在目標3g機動情況下,目標的速度前置角由于受到自身加速度的影響,與攔截彈的速度前置角不再呈現線性關系,在DCR中由(70,10)點運動到攔截曲線上的(44.58,20.55)點,滿足了攔截條件(11)成功攔截目標。在目標5g機動情況下,由于目標和攔截彈的初始條件在DCR之外,所以目標的速度前置角最終超過了式(16)的約束,目標和攔截彈的速度前置角從(70,10)點運動到DCR外的(145.15,65.93)點,未能滿足攔截條件(11)所以脫靶。

情形2仿真情形1驗證了真比例導引捕獲區的有效性,在仿真情形2中,保持目標的初始速度前置角不變,通過改變攔截彈的初始彈道傾角從-180°～180°間隔5°進行遍歷,觀察攔截彈初始速度前置角的變化與SCR的關系。另外,為了觀察目標和攔截彈的速度比ρ對SCR的影響,保持攔截彈速度不變,設置目標與攔截彈的速度比分別為ρ=2和ρ=3。仿真結果如圖7～圖9所示。

圖7 情形2中攔截彈和目標軌跡Fig.7 Curves of the interceptor and target trajectories in scenario two

圖8 情形2中攔截彈過載Fig.8 Curves of the interceptor overloaded in scenario two

圖9 情形2中攔截彈和目標速度前置角變化曲線Fig.9 Curves of the interceptor and target velocity heading angels in scenario two

圖7給出了情形2中攔截彈和目標的軌跡,從圖中可以發現,只要中末制導交接班條件位于真比例導引SCR內,應用真比例導引可以成功攔截非機動高速目標。圖8給出了情形2中的攔截彈過載曲線,從圖中可以發現,隨著目標和攔截彈速度比的增大,攔截目標所需的過載指令也將變大,這主要是因為式(17)中二者之間相對速度和視線角速率增大直接導致了指令加速度的增大。圖9給出了情形2中的攔截彈和目標速度前置角變化曲線,從圖中可以發現,當目標和攔截彈的速度比為ρ=2時,目標的初始速度前置角范圍為η∈[-30°,30°],攔截彈的初始速度前置角范圍為γ∈[-170°,170°],當目標和攔截彈的速度比為ρ=3時,目標的初始速度前置角范圍為η∈[-19.47°,19.47°],攔截彈的初始速度前置角范圍為γ∈[-175°,175°],說明隨著目標和攔截彈速度比的增大,應用真比例導引得到的SCR將會減小,這也驗證了高速目標相比于傳統低速目標來說更加難以攔截。結合該結論可以得到,在攔截作戰的中制導階段應盡量優化彈道,將中末制導交接班時刻的攔截彈速度作為一項優化指標,通過降低末制導階段目標和攔截彈的速度比來盡量增大末制導捕獲區,以利于目標的成功攔截。

情形3仿真情形2中驗證了應用真比例導引攔截非機動高速目標的SCR,在仿真情形3中,設置目標的機動過載為5g觀察真比例導引攔截高速機動目標的DCR。通過保持目標初始速度前置角為η=0°,改變攔截彈的初始速度前置角得到的仿真曲線如圖10所示,通過保持攔截彈的初始速度前置角為γ=0°,改變目標的初始速度前置角得到的仿真曲線如圖11所示。

利用式(57)可以得到,當目標采取5g機動時,目標速度前置角范圍為η∈[-5.77°,5.77°],因此保持目標初始速度前置角為η=0°,改變攔截彈的初始速度前置角的情形能夠保證初始條件位于動態捕獲區內,從圖10中改變攔截彈初始速度前置角后攔截彈和目標速度前置角變化曲線中可以看出,攔截彈針對目標+5g機動形式的初始速度前置角范圍為γ∈[-160°,30°],針對目標-5g機動形式的初始速度前置角范圍為γ∈[-30°,160°]。通過進一步觀察可以發現,攔截彈成功攔截目標情況下,目標的速度前置角都未超過式(16)的約束限制。圖11給出了通過保持攔截彈的初始速度前置角為γ=0°,改變目標初始速度前置角情況下目標的速度前置角和攔截彈的速度前置角變化曲線,從圖中可以發現,針對目標+5機動形式和-5g機動形式得到的DCR邊界為η∈[-5.5°,5.5°],與式(57)中理論分析相一致,從而驗證了DCR的合理性。

圖10 改變攔截彈初始速度前置角Fig.10 Curves with the changes of the interceptor initialvelocity heading angles

圖11 改變目標初始速度前置角Fig.11 Curves with the changes of the target initial velocity heading angles

4 結 論

本文針對反高速目標作戰場景,研究了真比例導引末制導律的攔截能力,通過分析攔截彈和目標的相對運動狀態以及二者速度前置角需要滿足的約束關系,推導得到了攔截非機動高速目標的靜態捕獲區以及機動目標的動態捕獲區,為中末制導交接班的條件設置提供了理論支撐。文章得到的主要結論如下。

(1)攔截彈成功攔截目標的充分必要條件是攔截彈的速度前置角γ、目標的速度前置角η以及目標和攔截彈的速度比ρ滿足關系sinγ=ρsinη。

(2)反高速目標作戰中,目標的速度前置角η必須滿足|η|≤arcsin(1/ρ),否則攔截彈不能成功攔截目標,隨著目標和攔截彈速度比ρ的增大,目標速度前置角允許范圍減小,因此高速目標相比于低速目標更加難以攔截。

(3)由于目標的機動特性,應用真比例導引得到的動態捕獲區要小于攔截非機動目標得到的靜態捕獲區。

(4)在中制導彈道設計階段,應將攔截彈的速度作為一項優化指標,盡量減小末制導過程中目標和攔截彈的速度比ρ以利于目標的成功攔截。