機動目標攔截新型微分幾何制導律設計

黃景帥, 張洪波, 湯國建, 包為民,2

(1. 國防科技大學空天科學學院, 湖南 長沙 410073;2. 中國航天科技集團有限公司, 北京 100048)

0 引 言

隨著空天技術的飛速發展,來襲目標速度越來越快,并具備一定的機動能力,給現有的防空反導系統造成了嚴峻的挑戰。攔截末制導律作為其中的一項關鍵技術,負責在攔截末段導引導彈直接碰撞殺傷目標。實施機動作為目標逃避攔截的主要手段之一,將致使導彈消耗更多的過載,降低制導精度。因此,如何設計能夠有效應對目標機動又節省過載消耗的末制導律變得至關重要。

由于形式簡單、工程易實現,比例導引(proportional navigation,PN)成為目前應用最廣泛的制導律[1]。對于非機動或弱機動目標,PN能夠取得優異的制導性能。但是,由于僅令制導加速度正比于視線轉率,未直接針對目標機動進行處理,導致PN只具備有限的攔截機動目標的能力。增廣型PN雖然對目標機動進行了補償,但是需要目標的加速度信息,通常情況下難以精確獲得,不利于工程實現[2]。因此,學者們基于不同理論提出了諸多先進制導律,如滑模制導律[3-4]、有限時間收斂制導律[5-6]、微分幾何制導律(differential geometric guidance law,DGGL)[7-8]等,期望產生優于PN的性能。

微分幾何理論在弧長體系下引入曲率和撓率參數分別刻畫空間光滑曲線的彎曲和扭曲程度,當設定初始的伏雷內標架后,通過曲線的曲率和撓率值,即可確定曲線在空間中的變化趨勢[9]。然而,導彈的攔截制導實質上等同于彈道曲線的在線規劃問題,如果實時地給出彈道曲線的曲率和撓率參數,同樣可實現導彈的制導。因此,微分幾何理論為攔截制導律的設計提供了全新的視角,成為近年來研究的熱點。文獻[7]基于微分幾何理論在弧長體系下描述了三維的彈目相對運動,提出了由曲率和撓率指令構成的DGGL。在文獻[7]的基礎上,文獻[8]研究了平面內DGGL的形式。利用滑模控制理論和李群方法,文獻[10]設計了一種非線性的DGGL,仿真表明,在攔截機動目標方面其制導性能優于文獻[7]中的DGGL。文獻[11]將目標機動作為外界擾動項,基于二階滑模控制器和零化視線角速率的思想設計了一種制導性能優于文獻[10]中的DGGL。但是,上述制導律的推導均基于假設導彈和目標常速度飛行,且導彈與目標的速度比大于1來進行,極大限制了DGGL的應用范圍。文獻[12]不針對導彈和目標施加任何限制,直接推導得到了應用范圍擴展的DGGL。通過定義的視線旋轉坐標系,文獻[13]提出了一種廣義的微分幾何制導律(generalized DGGL,GDGGL),垂直于視線方向的指令加速度作為可設計變量,為獲得更有效和實際的DGGL提供了巨大的空間。此外,取代復雜且需要目標加速度信息的撓率指令,文獻[14-15]分別給出了直接解算指令加速度方向的幾何和代數方法,提高了DGGL的魯棒性。基于GDGGL,文獻[16]應用有限時間穩定理論設計了一種DGGL,可保證視線轉率在有限時間內收斂至零。DGGL型制導律雖然與純比例導引(pure PN,PPN)同屬于以導彈速度為參考的制導律范疇,適用于大氣層內攔截,但是其提供了一種全新的制導體制,且通過合理設計可具備更優異的性能。視線轉率在有限時間內收斂至零或其鄰域,固然會提高制導精度,但是在攔截初段可能會產生較大過載,致使過載分布不均勻。

在先進制導律的設計過程中,均無法回避目標機動加速度項的處理,目前主要有兩種處理方法。一是利用非線性觀測器對其進行估計,進而補償到設計的制導律中[5-6,12,15-17]。但是,觀測器的估計誤差存在初始尖峰現象,且誤差的存在導致制導律的穩定性難以證明。此外,目前文獻在仿真驗證中均假設構造觀測器所需的測量信息是無誤差的,在實際噪聲環境下觀測器的精度有待考驗。二是將目標加速度看作有界干擾,基于魯棒控制理論抑制干擾的影響,若干擾上界無法預知通常設計自適應估計律對其進行逼近[3-4,18-20]。

在以上分析的基礎上,針對機動目標攔截問題,本文基于微分幾何制導體制提出了一種新型的DGGL(novel DGGL,NDGGL)。首先,通過滑模面的構造,控制視線轉率隨著彈目距離的減小而逐漸收斂,而非快速地收斂至零；其次,將目標機動看作未知的有界干擾,通過設計一種雙冪次自適應估計律對其上界進行逼近,穩定性分析表明所設計的制導律能夠確保滑模變量的漸進收斂性;最后,仿真驗證了NDGGL的有效性。

1 彈目相對運動模型

考慮三維攔截場景,忽略導彈控制回路的動態特性,并將導彈和目標視作質點。如圖1所示,給出了慣性坐標系OIxIyIzI下彈目攔截交戰的幾何關系,M與T分別代表導彈和目標,它們之間的連線即為視線(line of sight,LOS),vm與vt分為代表導彈和目標的速度。

圖1 攔截交戰幾何關系Fig.1 Intercept engagement geometry

由圖1可知,彈目的相對位置關系為

r=rt-rm=rer

(1)

式中,r為彈目相對距離；er為視線方向的單位矢量。對式(1)求導得

v=vt-vm

(2)

式中,v為彈目相對速度。由于視線的旋轉完全由導彈和目標垂直于視線方向的速度來決定,因此視線的旋轉角速度ω垂直于視線,并且

(3)

通常情況下,利用視線坐標系或其他實質相同的坐標系來描述彈目的相對運動方程,如文獻[5-6]。但是,由此推導的微分方程在垂直于視線的兩個方向上是高度耦合的,導致攔截制導律設計的復雜化。文獻[19]定義了一種新型的視線旋轉坐標系,如圖2中(er,eθ,eω)所示,得到了解耦的相對運動方程。

圖2 視線旋轉坐標系Fig.2 LOS rotation reference frame

圖2中,由矢量r和v張成的平面稱作交會平面;om為導彈質心;omxe為攔截初始時刻的視線方向,omye在交會平面內垂直于omxe,其方向與彈目初始相對速度v0的夾角為銳角,平面xeomye與交會平面固聯。單位矢量eω和eθ分別定義為

eω=omxe×omye,eθ=eω×er

(4)

在視線旋轉坐標系下,彈目相對運動的方程組為

(5)

式中,atr、atθ與atω分別為目標加速度在視線旋轉坐標系下的3個分量;amr、am θ與am ω分別為導彈加速度在視線旋轉坐標系下的3個分量;ω、Ω分別為視線轉率、交會平面旋轉角速度大小。由式(5)可知,交會平面內的運動與其旋轉運動是解耦的。

2 GDGGL

傳統意義上,DGGL由曲率和撓率指令組成,曲率決定制導加速度指令的大小,撓率改變制導加速度指令的方向。而文獻[13]提出的GDGGL為

(6)

式中,am為導彈的指令加速度;nm為垂直于導彈速度的單位矢量。對于nm的求解,若利用形式復雜的撓率指令,易引起制導律不穩定,且需要目標的加速度信息,難以工程實現。因此,在文獻[15]利用代數法直接求解nm的基礎上,采用如下改進的方法。

為了保證式(6)中的分母不為零,假設

nm·eθ=λ

(7)

式中,0<λ≤1。同時,nm還必須滿足以下兩個約束:

(8)

式中,tm為導彈速度方向上的單位矢量。假設nm、tm和eθ在慣性空間中的指向分別為

(9)

于是,聯立式(7)～式(8)可得nm有解的條件為

A2+B2+C2≥λ2

(10)

式中,A=a1b2-a2b1;B=a1b3-a3b1;C=a2b3-a3b2。根據式(10),λ取為

(11)

式中,σ是足夠小的正數。文獻[15]中,令λ在整個制導過程中始終為常值,不排除出現nm無解的情形,而式(11)可確保nm始終有解。通常情況下,求解方程組可獲得兩個滿足條件的解,記作nm1與nm2。為了保證制導指令的連續性,應選取滿足如下條件的解:

(12)

3 NDGGL

3.1 制導律設計

由式(5)、式(6)可知,交會平面內的am θ是GDGGL中的關鍵變量,決定著攔截過程中垂直于視線的相對速度大小或視線轉率的收斂性。

令x=rω,式(5)的第二個方程表示為

(13)

針對式(13),設計如下滑模面:

(14)

(15)

最終,可得η≥1/2。

對式(14)第一式求導并聯立式(5)的第二個方程,得

(16)

選擇如下的快速趨近律:

(17)

式中,α、β>0,均為無量綱常量;0<γ<1;sgn(·)為符號函數。將式(16)代入式(17),有

(18)

由于無法通過直接測量來獲取atθ的信息,所以多數情況下難以對atθ實施精確補償,導致系統的運動軌跡會偏離滑模面,偏離的程度能夠反映出目標機動的水平,即|s|越大表明目標機動的干擾越強。鑒于實際的目標加速度不可能無限大,可假設

|atθ|≤d

(19)

式中,d≥0未知。為了補償目標機動的干擾,基于|s|越大干擾越強的原則,本文提出一種關于|s|的雙冪次形式的自適應律對d進行估計,其表達式為

(20)

(21)

式(21)所示的am θ中含有不連續的符號函數切換項,易引起抖振。為此,用飽和函數sat(s)代替符號函數sgn(s),其表達式為

(22)

但是,飽和函數替代符號函數會對系統在|s|<δ內的穩定性產生影響。為了消除該影響,將式(21)修正為

(23)

式中,e≥1-(μ1+μ2)/2;c≥1/4。聯立式(23)和式(6),即構成了NDGGL。

3.2 穩定性證明

在給出NDGGL穩定性的證明之前,先給出證明中需要的定義及引理。

定義1[21]Lp空間。對于y: [0,∞) →R,若滿足p方可積條件,即

(24)

則y∈Lp。

?t≥t0

(25)

(26)

引入虛擬變量ξ,其導數設定為

(27)

定義Lyapunov函數為

(28)

(29)

(30)

于是,有

(31)

因此,展開式(29)得

(32)

當|s|<δ時,sat(s)=s/δ,再次對V求導得

(33)

(34)

證畢

4 仿真分析

本節通過仿真,針對不同類型的機動目標進行攔截,來驗證所設計的NDGGL的有效性。導彈和目標的初始狀態如表1所示。

表1 導彈和目標初始狀態

選取現有的兩種制導律與NDGGL進行性能比較:經典的PPN制導律、文獻[16]基于有限時間穩定理論和擴張狀態觀測器設計的DGGL,簡記為DGGL-FE。PPN的表達式為

am=Nω×vm

(35)

式中,N為導航比。DGGL-FE的表達式為

(36)

(37)

式中,t0為初始制導時刻。

考慮以下兩種典型的目標機動形式：

(1) 場景1:常值機動,at=(0,2g0,3g0);

(2) 場景2:正弦機動,at=(0,2g0,4g0cos(0.5t))。

場景1目標作常值機動,各制導律中所涉及參數設置如表2所示。

表2 制導律參數

注:1) DGGL-FE中nm的初始值和解算方法均與NDGGL一致;

2)下標0表示初始時刻的參數值。

基于上述攔截條件,仿真結果如表3和圖3所示。由仿真結果可知,NDGGL的視線轉率幾乎隨著時間線性下降,與仿真條件中的η=2相吻合,而PPN由于不含目標機動處理項,難以有效抑制視線轉率,相應的脫靶量也較大。在能量總消耗方面,NDGGL顯著低于PPN,優于控制視線轉率有限時間收斂并采用擴張狀態觀測器對目標加速度進行補償的DGGL-FE,表明NDGGL中漸進地控制視線轉率收斂能夠節省能量消耗,同時并不影響脫靶量。在DGGL-FE仿真中,觀測器的估計誤差會出現初始尖峰現象,而且如果初始估計誤差較大,初始尖峰現象會更嚴重,導致目標加速度的過補償,易引起導彈初始段過載的飽和,而NDGGL的過載分布均勻,如圖3(d)所示。

表3 場景1制導性能比較

場景2目標作正弦機動,各制導律中所涉及參數設置與場景一一致,仿真結果如圖4和表4所示。由仿真結果可知,當目標進行正弦機動時,控制視線轉率有限時間收斂相比漸進收斂更加節省能量。因此,針對NDGGL可取較大的η。同樣,NDGGL初始段過載小,整體分布均勻。

圖3 場景1仿真結果Fig.3 Simulation results of scenario 1

圖4 場景2仿真結果Fig.4 Simulation results of scenario 2

表4 場景2制導性能比較

圖5 能量總消耗和脫靶量隨η變化Fig.5 Total energy consumption and miss distance versus η

圖6 不同初始估計值條件下滑模變量隨時間變化Fig.6 Sliding mode versus time under different initial estimations

5 結 論

本文以攔截大氣層內機動目標為背景,設計了一種NDGGL,研究結論總結如下:

(1) 設計的制導律性能優于傳統的純比例導引；

(2) 在攔截常值機動目標時,控制視線轉率漸進收斂相比于有限時間收斂更節省能量,而對于正弦機動目標,為了節省能量應快速地抑制視線轉率；

(3) 在處理目標機動方面,采用雙冪次自適應律估計目標加速度上界能夠快速地控制滑模變量趨于零附近,相比于采用觀測器補償目標加速度具有分布更均勻的過載。

針對不同類型的機動目標,如何智能地選取滑模面冪次項參數是后續工作的重點。