基于序列線性規劃的雷達低峰均比估計波形設計

郝天鐸, 崔 琛, 龔 陽, 孫從易

(1. 國防科技大學電子對抗學院, 安徽 合肥 230037; 2. 中國人民解放軍96630部隊, 北京 102206)

0 引 言

波形設計是雷達的關鍵技術之一。在進行面向參數估計的波形設計時,現有大部分方法均在頻域[1-3]進行研究,很難直接對波形包絡加以約束,從而無法兼顧放大器的非線性特性導致發射波形失真,無法發揮雷達發射機的最大效能,所以實際系統中還必須考慮波形的低峰均比(peak-to-average power ratio, PAR)或者恒模約束[4]。然而,恒模波形雖然是一種理想的發射波形,但其自由度較低,與恒模波形相比,能夠同時兼顧估計性能和雷達功率放大器的非線性特性[5-6]。因此,基于時域的低PAR估計波形更加符合實際工程需求。

現階段,只有少量文獻對該問題進行了研究[4-6]。文獻[4]基于最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)準則[7],在PAR約束下對信道參數進行了估計,但其并未考慮信號相關雜波的影響。文獻[8]在信號模型中加入了信號相關雜波,基于最小克拉美羅界(Cramer-Rao bound,CRB)準則對目標散射系數進行估計,但其假定發射波形和雜波協方差矩陣的卷積項是固定不變的,而實際中由于發射波形是不斷迭代更新的,所以卷積項也是不斷變化的。文獻[9]基于最大互信息(mutual information,MI)準則[9],在頻域模型加入信號相關雜波,采用時頻域轉換的方法,將頻域所得能量約束下的最優波形轉化到時域進行PAR波形設計,由于頻域波形不含相位信息,從頻域變換到時域后會帶來估計性能的下降。在信號相關雜波背景下,以上文獻均無法直接在時域合成低PAR估計波形,這主要是由于所求優化問題是一個較為復雜的非凸問題,很難將其轉化為凸問題進行求解。

針對上述問題,本文引入序列線性規劃(sequence linear programming, SLP)的思想,用線性形式擬合原優化問題的目標函數和約束條件,實現了非凸問題向凸問題的轉換,在信號相關雜波背景下直接在時域合成了低PAR估計波形。仿真實驗驗證了本文理論分析的正確性和算法的有效性。

1 信號模型

本文主要考慮相關雜波條件下針對擴展目標估計的波形設計問題。目標的散射特性用目標沖激響應(target impulse response, TIR)表示[10],相關雜波用雜波沖激響應(clutter impulse response, CIR)表示[11],主要在時域對離散的時間信號進行分析,信號模型如圖1所示。

圖1 相關雜波下的信號模型Fig.1 Signal model

圖1中,s∈CNs×1代表發射波形,其長度為Ns;t∈CNt×1和c∈CNc×1分別代表TIR和CIR,根據文獻[12]的雷達信號模型,令TIR和CIR長度相同,即Nt=Nc;n∈CNn×1代表噪聲和干擾的總和,Nn=Ns+Nc-1,x代表來自目標和環境的回波,其長度Nx=Nn。該模型可表示為

x=t*s+c*s+n=Ts+Cs+n=

St+Sc+n=st+sc+n

(1)

(2)

本文假定噪聲向量n服從均值為0,協方差矩陣為單位陣的復高斯分布,同時假定TIR和CIR均為復高斯隨機向量,其中,t～CN(0Nt,Rt),c～CN(0Nc,Rc),Rt∈CNt×Nt,Rc∈CNc×Nc。

2 波形設計方法

2.1 基于互信息方法的問題描述

本文以回波和目標之間最大化互信息為優化準則進行波形設計,互信息越大,估計越精確。考慮前述對噪聲、TIR和CIR的假設,并假定三者相互獨立,則目標t和回波信號x的互信息可表示如下[13]

I(x;t|S)=h(x|S)-h(x|t,S)

(3)

式中,h(x|S)代表發射波形Toeplitz矩陣S已知時回波信號的熵；h(x|t,S)代表S和TIR均已知時回波信號的熵。當S已知時,TIR和回波信號服從聯合高斯分布,且滿足

(4)

令Rx=SRtSH+SRcSH+Rn,有

(5)

則可得

ln det(SRtSH+SRcSH+Rn)+Nxln π+Nx

(6)

ln det(SRcSH+Rn)+Nxln π+Nx

(7)

把式(6)和式(7)代入式(3)中,可得

I(x,t|s)=ln det[INx+SRtSH(SRcSH+Rn)-1]

(8)

應用矩陣求逆引理[14],于是式(8)變為

I(x;t|S)=ln det{INt-Rt[AB-1A-A]}

(9)

(10)

假設噪聲、TIR和CIR均為廣義寬平穩隨機過程,則Rt和Rc[15]可分別表示為

Rt=UΣtUH

(11)

Rc=UΣcUH

(12)

式中,Σt=diag(λt,1,…,λt,Nt),Σc=diag(λc,1,…,λc,Nc),它們的對角元素代表目標和雜波功率譜密度的采樣,酉矩陣U可表示為

?k,l∈(1,Nt)

(13)

同理,有

Rn=VΣnVH

(14)

式中,Σn=diag(λn,1,…,λn,Nn)代表對噪聲功率譜密度的采樣;V也為酉矩陣。把式(11)、式(12)和式(14)代入式(10)中,可得

ln det{INt+Σt[Σc+(ZHZ)-1]-1}

(15)

(16)

式(16)也可通過文獻[17]的引理2得到,其中Λs=diag(λs,1,…,λs,Nt),則互信息表達式可變為

(17)

至此,對時域上TIR和回波信號的互信息表達式進行了推導簡化,可以看出,式(17)與頻域上的互信息表達式較為相似。接下來將引入能量和PAR約束對時域發射波形進行求解。

2.2 低PAR估計波形設計

不失一般性,設發射波形的最大能量Ps=Ns,則PAR可定義為

(18)

式中,sk為波形向量s的第k個采樣。在加上PAR約束后,要求每一個發射波形元素sk的能量都小于某一固定的PAR值,即

|sk|2≤μ,μ∈[1,Ns]

(19)

(20)

(21)

(22)

問題P′的不等式約束雖然變為一個凸集,但目標函數卻是非凸的,因此對該問題求解較為困難。此時,可引入SLP的思想對其進行求解。

2.3 引入SLP方法的問題求解

SLP是一種將非線性規劃問題轉化為線性規劃問題的研究方法。在實際優化過程中,由于其理論簡單、易于實現的特點被廣泛應用,在凸規劃問題中用線性形式擬合目標函數和約束不等式方程方面均有很好的表現[18]。SLP的主要思想是通過泰勒公式,在初始值x(0)處對非線性目標函數和約束條件進行一階展開,略去二階和二階以上的高階項,實現非線性問題中目標函數和約束條件的線性化處理,并通過求解該線性規劃問題逼近原始問題的解[19]。設非線性函數為f(x),在x(0)處的泰勒展開式為

f(x)≈f(x(0))+f′(x(0))(Δx)

(23)

在該問題的約束條件下,通過對式(23)進行求解,可以得到此方程的最優解x(1),接著將目標函數在x(1)處展開

f(x)≈f(x(1))+f′(x(1))(Δx)

(24)

以此類推,可得SLP的通式為

f(x(n))≈f(x(n-1))+f′(x(n-1))(Δx)

(25)

對式(25)不斷求解更新,直到滿足收斂條件即可得到最優解x(n)。

然而,SLP有一定的適用范圍,即新的設計點與原設計點的距離Δx不可過遠,否則高階項不可忽略。當Δx較小時,近似精度高,但優化速度慢;當Δx較大時,優化速度快,但近似精度低,將會使近似函數偏離原始函數。因此,選擇合適的Δx尤為重要,在后面的方法設計中,對Δx的設定范圍要盡量合理,使得近似函數在靠近原函數的同時盡可能收斂到全局最優值。綜上所述,由于序列線性規劃算法對于求解工程中的非線性問題有著很好的效果,本文采用SLP的思想,對目標函數進行一階展開,將原始問題轉化為一個凸問題進行求解。

2.3.1 初始值求解

首先,進行初始值的求解。為了求得一個較好的初始極值,可以將約束條件中的不等式約束變為等式約束,采用拉格朗日法進行求解。然而,第二個約束條件為PAR約束,若μ>1,則變為等式約束后會使發射波形的總能量超過限定的最大能量,所以在這里可以先略去第二個不等式約束,只將第一個不等式約束條件變為等式約束,優化問題變為

(26)

(27)

(28)

2.3.2 目標函數優化

(29)

(30)

2.3.3 波形向量的逼近

在問題P2的求解過程中,并未對S進行Toeplitz矩陣結構(見式(2))的約束,因此優化波形矩陣Sopt并不一定滿足信號模型中的Toeplitz矩陣結構,還需要對其進行Toeplitz矩陣逼近后才可求得發射波形的向量解。這里采用最小F-范數的方法來逼近波形向量,有

(31)

d-sHg-gHs

(32)

(33)

綜上,為了得到滿足低PAR要求的發射波形向量,需引入SLP的思想,將非線性優化問題轉化為線性問題,快速求解出近似的波形向量,便于實際工程應用。設門限值為τ,最大迭代次數為κ,優化算法的步驟可總結如下。

3 算法性能分析

3.1 算法收斂性

在步驟2迭代的過程中,記第k次迭代得到的低PAR波形矩陣為S(k),記問題P2的目標函數值為I2(S(k)),記原始問題P的目標函數值為I(S(k))。通常對于SLP問題而言,I2(S)是單調收斂的。由于問題P2是問題P的近似,所以不能保證I(S)也是單調的。但是,隨著k的增加,S(k)會逐漸趨近于原始問題的最優解,這就保證了I(S)最終會收斂趨近于最優值。因此,雖然不能確保I(S)每一步都是單調遞增的,但其總體趨勢可以認為是收斂的。由于要證明I(S)的收斂性較為困難,因此,通過仿真實驗對其收斂性進行了驗證。

此外,在步驟3的逼近過程中,主要針對優化結果進行逼近,而不是針對目標函數逼近。因此,對于非線性程度較高的目標函數,逼近結果不一定能夠保證目標函數取到最優。以圖2為例,圖中是一條隨機的非線性曲線,若sopt處于圖中目標函數的凹區間,雖然其針對結果的逼近誤差比圖中實線框內的波形向量要小,但由于約束條件和目標函數非線性的原因,使得目標函數值反而變小,導致F-范數逼近方法效果變差。但是在一般情況下,該逼近方法不失為一種波形優化途徑,可認為其是一種次優化方法。

另外,為得到較好的波形向量,在問題P2中直接加入對S的Toeplitz約束條件,通過智能搜索算法也可以得到較為理想的優化結果,但這種方法將使得優化問題的求解耗費更長的時間。

圖2 非線性程度較高的目標函數示例Fig.2 Example of objective function with high degree of non-linearity

3.2 算法復雜度分析

4 仿真實驗與分析

圖3 目標和雜波功率譜密度采樣Fig.3 Power spectral density of target and clutter

4.1 實驗1:算法有效性驗證

圖4 問題P和P2的收斂性比較Fig.4 Convergence comparison of P and P2

圖5 不同波形估計性能對比Fig.5 Estimation performance comparison of different waveforms

從圖5可以看出,采用逼近方法得到的滿足Toeplitz矩陣結構的發射波形的估計性能比最優波形略差,但其估計性能仍然優于文獻[6]和常用波形,這是由于文獻[6]的最優頻域波形不含有相位信息,從頻域變換到時域時會帶來估計性能的下降。此外,目標與回波之間的MI隨著能量的增大而增大,隨著CNR的增大而減小,在低CNR時(CNR≤20)本文方法產生的優化波形性能要優于常用波形,并且當雜波的能量達到一定門限時(CNR=30),MI會變為零,接收端幾乎得不到關于目標的信息。

圖6將本文算法與文獻[6]算法的耗時進行了比較,可以看出,在相同波形長度下,經過一定的迭代收斂后,本文方法與文獻[6]的運算量較為接近,當波形長度小于103時,兩種方法的耗時均較小;當波形長度大于103時,兩種方法的耗時均比較大,不利于實時信號處理。因此,本文算法適合序列碼長相對較短的波形。

圖6 不同算法的運算量對比Fig.6 Run-time of different algorithm

4.2 實驗2:算法性能與PAR之間的關系

圖7給出了不同PAR約束下,最優波形和滿足Toeplitz結構的優化波形的互信息取值?？梢钥闯?隨著μ的增大,問題P2的可行解區域逐漸變大,因此所求波形的估計性能也有所增強。當μ≥3時,所設計波形的互信息非常接近能量約束下的最大互信息值。此外,由于進行了波形矩陣的逼近,最后得到優化波形向量的互信息相比于最優波形有輕微的減少。

圖7 互信息與PAR的關系Fig.7 Mutual information versus PAR

圖8為不同PAR下滿足Toeplitz結構的優化波形實部和虛部的表示。μ=Ns代表能量約束下的波形,此時圖中對應點的分布半徑較大,表明波形幅度起伏較大,不能保證所設計波形的恒模特性,不利于實際應用。當μ=1時,產生的點位于單位圓上,是恒模波形,當μ=2時,圖中點的分布半徑比恒模波形略大,估計性能要更強。

圖8 不同PAR波形的實部和虛部Fig.8 Real and imaginary parts of different PAR

4.3 實驗3:算法性能與距離量Δλ之間的關系

圖9 距離區間對SLP算法性能的影響Fig.9 Influence of distance intervals on performance of SLP

圖9(a)給出了不同距離Δλ對SLP算法的影響,I代表原始函數的互信息取值,I2代表采用SLP算法后的一階近似函數的互信息取值,而最優值通過注水法得到。從圖9中可以看出,當Δλ取值區間較小時(η≤10-1),由于收斂速度較慢,每次迭代后函數值幾乎無變化,因此最終經過κ次收斂后得到的I和I2的取值也并沒有收斂到最優值;當η=4時,I可以收斂到最優值并且I與I2的取值非常接近;當Δλ取值區間較大時(η≥10),收斂速度較快,但容易收斂到局部最優值,并且此時原始函數和一階近似函數相差較大,因此圖9(a)中I和I2的值也相差較大,同時,可以注意到,此時的I和I2分別收斂到一個固定值,這是因為當η大于一定門限時,Δλ的最優值也將收斂到一個固定值Δλopt,圖9(b)給出了Δλopt隨的變化曲線圖,縱坐標代表Δλopt的F范數取值,可以看出,當η≥10時,Δλopt收斂到一個固定值。

5 結 論

為了提高雷達發射機的效能,避免放大器的非線性使發射波形失真,提出了一種信號相關雜波條件下雷達低PAR估計波形設計方法,在能量與PAR的雙重約束下,追求互信息的最大化。從時域角度出發構建了問題模型,引入序列線性規劃的思想將非凸優化問題轉化為一個凸問題進行研究,并基于F-范數對最優矩陣波形進行逼近,從而求得優化波形向量。本文方法在給定的低PAR區間內可有效求解得到估計波形。在算法運算量相同的情況下,與現有方法相比,所提方法產生的波形具有更好的估計性能。