但慶文 張傳勇 劉章軍

(三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院， 湖北 宜昌 443002)

橋梁結(jié)構(gòu)是人類社會(huì)發(fā)展的重要基礎(chǔ)設(shè)施，隨著科技進(jìn)步和建造材料的開(kāi)發(fā)，橋梁結(jié)構(gòu)日益朝著大跨高墩的方向發(fā)展，越來(lái)越多的大跨高墩剛構(gòu)橋、斜拉橋以及懸索橋建成服役，這些橋梁結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震作用下都不可避免地會(huì)產(chǎn)生非線性響應(yīng)．對(duì)大跨度橋梁隨機(jī)地震響應(yīng)分析和抗震可靠度評(píng)價(jià)是橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，而地震動(dòng)時(shí)程的模擬是基于動(dòng)力時(shí)程分析的橋梁結(jié)構(gòu)抗震研究所面臨的首要課題[1]．由于強(qiáng)度非平穩(wěn)地震動(dòng)模型的物理意義明確、使用簡(jiǎn)便，人們大多采用其作為地震動(dòng)輸入模型[2-4]．然而，地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)對(duì)結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力作用同樣重要，需要更全面真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，因此，近年來(lái)合理考慮地震動(dòng)的全非平穩(wěn)特性成為地震動(dòng)建模的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．曾珂等人發(fā)展了一類地震動(dòng)時(shí)變模型，該模型較好的考慮了頻率非平穩(wěn)性[5]；張翠然等人在Priestley[2]演變譜理論的基礎(chǔ)上通過(guò)擬合目標(biāo)演變譜構(gòu)造了強(qiáng)度-頻率非平穩(wěn)地震動(dòng)模型；同樣地，胡燦陽(yáng)等人在此演變譜理論基礎(chǔ)上，通過(guò)引入了強(qiáng)度-頻率雙調(diào)制函數(shù)模型，建立了一類雙調(diào)制地震動(dòng)過(guò)程模型[6]；劉章軍等人從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，通過(guò)構(gòu)造與現(xiàn)行水工抗震規(guī)范相結(jié)合的強(qiáng)度-頻率調(diào)制函數(shù)，建立了一類強(qiáng)度-頻率演變功率譜模型[7]，其優(yōu)點(diǎn)在于參數(shù)可以方便地由抗震規(guī)范確定，且適用于公路工程抗震規(guī)范．

本文將借鑒文獻(xiàn)[7]中構(gòu)造廣義演變功率譜的思路，結(jié)合最新的《公路工程抗震規(guī)范》(JTG B02-2013)[8]，發(fā)展一類與最新橋梁抗震規(guī)范相結(jié)合的改進(jìn)Kanai-Tajimi功率譜，同時(shí)考慮地震動(dòng)的強(qiáng)度非平穩(wěn)特性和頻率非平穩(wěn)特性，建立非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的強(qiáng)度-頻率演變功率譜模型．然后，結(jié)合強(qiáng)度-頻率演變功率譜密度模型和非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)降維法[9-11]，生成610條與公路工程抗震規(guī)范相對(duì)應(yīng)的地震波樣本集合，并對(duì)模擬結(jié)果的二階統(tǒng)計(jì)量、演變功率譜密度函數(shù)和平均反應(yīng)譜進(jìn)行了分析，以驗(yàn)證本文方法的有效性．最后，將生成的概率完備的代表性時(shí)程集合和概率密度演化方法[12-13]結(jié)合，對(duì)范和港大橋的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)及抗震可靠度進(jìn)行了精細(xì)化的分析．

1 非平穩(wěn)過(guò)程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法

根據(jù)非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程模擬的譜表示方法，對(duì)于零均值、雙邊演變功率譜密度函數(shù)為SX(t，ω)的非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程X(t)(一維單變量隨機(jī)過(guò)程)可近似表示為[9]：

(1)

式中，SX(t，ω)滿足SX(t，ω0)=SX(t，0)=0；Δω=ωu/N為頻率步長(zhǎng)，ωu為上截?cái)囝l率，N為頻率截?cái)囗?xiàng)數(shù)，ωk=kΔω．Xk和Yk(k=1，2，…，N)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交的隨機(jī)變量，其滿足如下基本條件[9]：

E[Xk]=E[Yk]=0，E[XkYl]=0，

E[XkXl]=E[YkYl]=δkl

(2)

式中，E[·]為數(shù)學(xué)期望，δkl為Kronecker記號(hào)．

在式(1)中，當(dāng)N取有限項(xiàng)時(shí)，X(t)的均方相對(duì)誤差為[9]：

(3)

式中，T為地震加速度過(guò)程的持時(shí)．

在此模擬方法中，其核心在于確定式(1)中功率譜密度函數(shù)SX(t，ω)的表達(dá)式和正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}的表達(dá)式，利用隨機(jī)函數(shù)的降維思想[11]，式(1)中的{Xk，Yk}可方便的確定為：

(4)

其中，基本隨機(jī)變量Θ在區(qū)間(-π，π)上均勻分布．

2 時(shí)-頻非平穩(wěn)地震動(dòng)模型

在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)非線性地震分析中，一般采用僅考慮強(qiáng)度非平穩(wěn)的地震動(dòng)模型，然而頻率非平穩(wěn)對(duì)結(jié)構(gòu)的非線性分析同樣有著重要的影響．為此，本文在平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的Kanai-Tajimi功率譜[14-15]基礎(chǔ)上，采用文獻(xiàn)[7]中的方法構(gòu)造了一類時(shí)-頻非平穩(wěn)地震動(dòng)模型．

首先，根據(jù)文獻(xiàn)[14-15]，Kanai-Tajimi的廣義功率譜可定義如下：

(5)

(6)

式中，ωg(t)和ω0分別為場(chǎng)地土的時(shí)變頻率和卓越圓頻率；ζg(t)和ζ0分別為場(chǎng)地土的時(shí)變阻尼比和阻尼比．參數(shù)ω0、ζ0和a、b可根據(jù)場(chǎng)地類別來(lái)確定；S0(t)為譜強(qiáng)度因子，其表達(dá)式為：

(7)

其次，選取強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)，本文選取Shinozuka提出的一種強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)[16]：

(8)

(9)

式中，t*為地震動(dòng)峰值到達(dá)時(shí)間的均值，參數(shù)c和d可根據(jù)場(chǎng)地類別來(lái)確定，且參數(shù)c和d反映了地震動(dòng)過(guò)程的強(qiáng)度非平穩(wěn)性．

最后，根據(jù)上述Kanai-Tajimi的廣義功率譜模型和強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)，可以給出如下修正的演變功率譜模型：

SX(t，ω)=|f(t)|2S(t，ω)

(10)

式中，SX(t，ω)為演變功率譜密度函數(shù)．

圖1為采用本文方法生成的時(shí)-頻演變功率譜密度函數(shù)圖，從圖中可以看出在頻域和時(shí)域內(nèi)均表現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)特性．

圖1 時(shí)-頻演變功率譜密度函數(shù)

3 非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的模擬與驗(yàn)證

為了生成非平穩(wěn)地震動(dòng)代表性時(shí)程樣本集合，首先需要對(duì)基本隨機(jī)變量Θ選取代表性點(diǎn)集，本文對(duì)基本隨機(jī)變量在區(qū)間(-π，π)上選取610個(gè)均勻散布的代表性點(diǎn)，同時(shí)計(jì)算每一個(gè)代表性點(diǎn)的賦得概率為1/610．然后，將選取的每一個(gè)代表性點(diǎn)代入式(4)中，并完成一一映射，便可得到標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}的代表性集合．最后，將正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}帶入到非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)模擬公式(1)中便可生成非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的代表性時(shí)程．

表1 演變功率譜模型參數(shù)

圖2為采用本文方法生成的非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程代表性時(shí)程，從圖中可知，代表性樣本具備地震動(dòng)時(shí)程的典型特征，且強(qiáng)震階段一般出現(xiàn)在1/6～1/3持時(shí)范圍內(nèi)；圖3為生成的610條加速度時(shí)程的平均傅里葉幅值譜，其反映了地震動(dòng)能量在頻域中的分布，從圖中可以看出，不同頻率諧波振動(dòng)所攜帶的能量主要分布在0～15 Hz范圍內(nèi)．

圖4為采用本文方法模擬的610條地震動(dòng)加速度時(shí)程集合的均值及標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)均值及標(biāo)準(zhǔn)差的比較圖，從圖中可知，模擬值與目標(biāo)值十分接近，集合均值和集合標(biāo)準(zhǔn)差均在目標(biāo)均值和目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差的上下波動(dòng)，總體上與目標(biāo)值的相對(duì)誤差均在5%以內(nèi)．對(duì)應(yīng)地，圖5為采用本文方法生成610條地震動(dòng)加速度時(shí)程集合的估計(jì)反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的比較，從圖中可知，模擬值與三段式的規(guī)范反應(yīng)譜擬合很好．上述對(duì)比分析說(shuō)明了利用本文方法生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程具有較高的精度，可以用于工程結(jié)構(gòu)抗震分析．

圖4 610條代表性時(shí)程二階統(tǒng)計(jì)值與目標(biāo)值比較

圖5 平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的比較

4 范和港跨海斜拉橋抗震分析

由于非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程具有給定的概率信息，且所有的代表性時(shí)程構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，因而可結(jié)合概率密度演化理論對(duì)范和港跨海大橋的隨機(jī)地震響應(yīng)及抗震可靠度進(jìn)行精細(xì)化的分析．

范和港跨海大橋的基本參數(shù)如下[17]，橋梁跨徑(52.5+99.5+300+99.5+52.5)=604 m，橋面寬26.9 m，采用雙塔單索，塔高28.31 m．主梁采用C55混凝土，截面形式為單箱三室三角箱型，橫隔梁間距為6 m，箱梁底板厚度為25 cm，頂板為27 cm．索塔為獨(dú)柱塔型，順橋和橫橋向分別寬6.9 m和3.4 m，順橋向1.5 m，橫橋向壁厚0.8 m至1.1 m，索塔采用C60混凝土．主塔與主墩剛接，主墩為圓端形截面，長(zhǎng)端沿順橋向?yàn)?3.8 m至15 m，短端沿縱橋向?yàn)?.8 m至7 m，壁厚1 m至2 m．全橋設(shè)23對(duì)一共184根斜拉索，采用8種規(guī)格拉索，從PES(FD)7-109到PES(FD)7-211，拉索最小傾角約為24度，梁上索距為6 m，橫向2.2 m，塔上豎向索距為1.6 m，橫向?yàn)?.8 m．采用有限元軟件Midas Civil對(duì)范和港斜拉橋進(jìn)行有限元建模，如圖6所示．

圖6 范和港大橋有限元模型

采用多重Ritz向量法對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析以獲取橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率和各階振型，限于篇幅，僅列出部分模態(tài)，見(jiàn)表2．

表2 結(jié)構(gòu)部分動(dòng)力特性

從表中可知：該斜拉橋結(jié)構(gòu)的基頻為0.421 5 Hz，對(duì)應(yīng)的振型為主塔一致側(cè)彎，這是因?yàn)樗魉⒅髁骸⒅鞫詹捎昧斯探Y(jié)形式，有很大的整體剛度；且前三階模態(tài)的振型均表現(xiàn)為主塔側(cè)彎，說(shuō)明橋塔的橫向剛度很小；結(jié)構(gòu)的頻譜較為密集，振型分布均勻，尤其高階振型表現(xiàn)為明顯的相互耦合作用．

值得說(shuō)明的是，式(1)所定義的譜表示模擬公式僅適用于一維單變量隨機(jī)過(guò)程，其模擬結(jié)果只能獲得單點(diǎn)地震動(dòng)輸入，同時(shí)為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文僅考慮一致激勵(lì)下的橋梁結(jié)構(gòu)抗震分析，不考慮地震動(dòng)的多維相關(guān)性以及空間變化特性．將采用本文方法生成的610條代表性時(shí)程輸入到結(jié)構(gòu)有限元模型中進(jìn)行確定性的動(dòng)力時(shí)程分析，并結(jié)合概率密度演化方法，考慮縱向+橫向和縱向+豎向兩種地震輸入方式，對(duì)范和港跨海大橋的非線性地震響應(yīng)及抗震可靠度進(jìn)行精細(xì)化的分析．方向組合采用SRSS方法，其中水平向地震加速度峰值為0.2g，豎向地震加速度峰值取水平向的0.6倍．限于篇幅，本文僅給出縱向+橫向地震輸入方式下主墩墩底彎矩響應(yīng)的二階統(tǒng)計(jì)量和典型時(shí)刻的概率信息，如圖7所示，從圖中可以看出，橋梁結(jié)構(gòu)在地震作用下產(chǎn)生強(qiáng)烈的非平穩(wěn)響應(yīng)，且主墩墩底彎矩不同時(shí)刻的典型概率密度曲線表現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性特點(diǎn)．

圖7 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的概率信息

在上述橋梁結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)地震動(dòng)響應(yīng)分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合等價(jià)極值事件的思想[12]，分別取主墩墩底的軸力和彎矩作為可靠度評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)抗震可靠度進(jìn)行定量的評(píng)價(jià)．根據(jù)大量的震害資料，分別選取可靠度閾值為1.8×104kN和1.0×106kN·m．圖8為縱向+橫向和縱向+豎向地震輸入方式下的橋梁抗震可靠度計(jì)算結(jié)果，從圖中可以看出，當(dāng)采用軸力作為可靠度指標(biāo)時(shí)，縱向+橫向和縱向+豎向地震輸入方式下的可靠度分別為100%和65%；當(dāng)采用墩底彎矩作為可靠度指標(biāo)時(shí)，兩種地震輸入方式下的可靠度曲線幾乎重合，且抗震可靠度均為100%，這說(shuō)明橫向地震激勵(lì)和豎向地震激勵(lì)對(duì)主墩墩底彎矩的影響是一致的．對(duì)比圖8(a)和圖8(b)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一失效閾值，軸力在縱向+豎向地震輸入方式下的可靠度遠(yuǎn)小于縱向+橫向地震輸入的抗震可靠度，這說(shuō)明豎向地震激勵(lì)對(duì)墩底軸力的可靠度有較大的影響，其抗震可靠度明顯不滿足，因此在橋梁結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中需重點(diǎn)考慮豎向地震激勵(lì)對(duì)主墩墩底軸力的影響．

圖8 結(jié)構(gòu)抗震可靠度

5 結(jié) 論

本文在平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的Kanai-Tajimi功率譜基礎(chǔ)上，建議了一類時(shí)-頻非平穩(wěn)地震動(dòng)演變功率譜模型，結(jié)合《公路工程抗震規(guī)范》(JTG B02-2013)和非平穩(wěn)過(guò)程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)降維方法，生成了與規(guī)范反應(yīng)譜相一致的地震動(dòng)加速度代表性時(shí)程集合．利用 有限元軟件建立斜拉橋有限元模型，對(duì)橋梁非平穩(wěn)地震響應(yīng)進(jìn)行了概率密度演化分析．在此基礎(chǔ)上，結(jié)合等價(jià)極值事件的思想，分別選用主墩墩底軸力和彎矩作為可靠度評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)抗震可靠度進(jìn)行了精細(xì)化的分析．研究結(jié)果表明，地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程的時(shí)-頻非平穩(wěn)演變功率譜模型能夠充分體現(xiàn)強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性，且該模型與規(guī)范結(jié)合緊密，從而可以方便地用于工程實(shí)踐．對(duì)范和港跨海大橋的抗震分析表明，豎向地震激勵(lì)對(duì)墩底軸力的可靠度有較大的影響，因而在進(jìn)行橋梁設(shè)計(jì)時(shí)需重點(diǎn)考慮豎向地震激勵(lì)對(duì)主墩墩底軸力的影響．