一種改進的粒子群算法的分數階控制研究

蘭 歆，韋宏利，陳超波

(西安工業大學 電子信息工程學院，陜西 西安 710021)

0 引 言

隨著自動控制的發展，及其在工業、農業、交通運輸和國防等各領域應用的不斷提高，高精度的控制也逐步提升。倒立擺是一個非線性、多變量、強耦合、不穩定的高階系統，具有形象、直觀、結構簡單、物理參數和形狀易于改變、成本低廉等優勢。在控制理論發展過程中，將創新的控制算法應用到倒立擺系統的控制上，可驗證該控制理論的性能，評判它在實際應用中的可行性，并對各種方法的控制性能進行對比，從而提出控制效果更優的控制算法。倒立擺系統控制的方法有：PID控制[1]、狀態反饋控制[2]、模糊控制[3]、擬人智能控制[4]、滑模變結構控制[5]等等。

分數階微積分(fractional-order calculus)是傳統整數階微積分的廣義形式,兩者同時產生。分數階微積分，指微分、積分的階次是任意的也可以是分數的，優于整數階。分數階微積分在科技、工程和工業等領域的研究和應用不斷增加。分數階控制系統可以用時域、頻域、復域進行表示，也可通過穩定性、魯棒性、可觀性、可控性等來分析。其中對分數階具有很大影響的是Igor Podlubny教授提出的PIλDμ[6]。分數階PID不僅是從整數階擴充到分數階，同時比傳統的PID控制多了2個可調參數：積分階次λ和微分階次μ，這相當于增加了兩個維度，更便于調控[7-13]。

隨著PIλDμ的提出及廣泛應用，對其參數尋優方法的研究受到了研究者的青睞。Vinagre[14]提出了基于相角裕度和幅值裕度方法，還提出了極點階數搜索法(即通過估計K來搜索一對較優的極點在時域上)。文獻[15]采用對稱優化方法改進了相角裕度和幅值裕度。文獻[16-17]采用3種方法來研究PIλDμ的參數整定。上述方法都有一個共同的特點，即控制器參數都通過大量的公式推導得出，計算量相當大且繁瑣復雜。文獻[18]在PIλDμ設計中加入粒子群算法，簡化了結構以及參數設置，同時擁有非常強大的全局優化水平且便于實現，但是未能改善PSO算法易陷入局部最優和收斂效率低等問題。

在上述研究基礎上，文中提出一種CAPSO算法，結合自適應調節慣性權重的算法和混沌粒子群算法，以避免算法的局部收斂、提高算法的精確度。

1 倒立擺數學建模與分析

文中倒立擺系統描述中涉及的符號、物理意義及相關數值如表1所示。

表1 直線一級倒立擺的參數指標

倒立擺受力分析如圖1所示。

由圖1可得：

(1)

Fh=Fg·cosα

(2)

Fs=Fg·sinα

(3)

對擺桿水平方向的受力進行分析可得:

(4)

對擺桿垂直方向的受力進行分析可得:

(5)

圖1 倒立擺受力分析

基于力矩平衡方程得：

Fglsinαcosθ+Fglcosαsinθ+

(6)

化簡得：

假設θ<<1，則可以進行近似處理:

(7)

(8)

方程化為：

令Ff=Fg(-sinα-θcosα),則上式化為：

(9)

代入實際數據后，得到：

(10)

忽略Ff，得到如下系統的微分方程：

(11)

(12)

(13)

2 分數階PID控制器

2.1 分數階微積分基本定義

(14)

Grünwald-Letnikov分數階微積分定義：對于任意實數m>0，整數部分為[m](即[m]為小于m的最大整數)，則函數f(t)的α階微積分為：

(15)

其中

Riemann—Liouville分數階微積分定義:

(16)

其中，m-1<α

Caputo分數階微積分定義：

其中，m-1<α

2.2 分數階控制器設計

PIλDμ控制器包括積分階次λ和微分階次μ，若λ=μ=0，實現P控制器，若λ=1，μ=0,實現PI控制器，若λ=0，μ=1，實現PD控制器，若λ=μ=1，實現PID控制器。若λ、μ為任意實數或者復數，得到分數階控制器為:

G(s)=Kp+Kis-λ+Kdsμ

(18)

PIλDμ控制器設計過程中需要先進行數值實現。文中利用Oustaloup[19]逼近算法進行離散化處理后進行數值實現。對于分數階微積分算子的數值實現是Oustaloup濾波器[15]在頻率域內，對Dα進行近似處理。Oustaloup濾波器的傳遞函數為:

(19)

濾波器零極點和增益如下：

(20)

(21)

3 基于改進的粒子群算法的分數階控制器參數的尋優

3.1 粒子群算法

粒子群優化算法(PSO)[20-23]在求解優化問題時,每個問題的解被看作一個個的微粒。假設在一個D維搜索空間中，由N個粒子組成的種群中第i個粒子在D維搜索空間的位置Xi(k)=(Xi1(k),Xi2(k),…,Xid(k))T。基于目標函數中的每個粒子位置表示為pi=(pi1,pi2,…,piD)T，它所對應的適應度在第i個粒子的速度Vi(k)=(Vi1,Vi2,…,Vid)T，其個體最優位置為種群的群體最優位置pg=(pg1,pg2,…,pgD)T，且1≤d≤D,1≤i≤N。則更新粒子的速度和位移：

vid(k+1)=ω(k+1)vid(k)+a1r1[pid(k)-

xid(k)]+a2r2[pgd(k)-xid(k)]

(22)

xid(k+1)=xid(k)+vid(k+1)

(23)

其中，假定粒子的編號是i=0，1，2…;a1、a2為學習因子(通常取值為2);r1、r2為分布在[0，1]區間的隨機數。

3.2 改進的粒子群算法

針對PSO算法的缺陷，提出一種基于Logistic混沌搜索機制的粒子群算法，以提高粒子群的多樣性和全局搜索能力。在該算法中，初始化混沌有助于增加粒子種群的多樣性，而且混沌搜索可避免粒子陷入局部最優。在文獻[20-24]中提出的各種混沌搜索算法都可以增強局部搜索能力。當粒子發生早熟時，由下式來更新位置變量：

yi+1=4y1(1-yi)

(24)

(25)

其中，yi∈[0,1]是混沌狀態處于系統的第i個變量；δ是決定變異的一個范圍。

加入自適應調整策略，既可以對慣性權重進行自適應調整，又保證了局部搜索和全局搜索之間的相互協調。在相關文獻中提出了慣性權重關于時間的線性遞減自調整策略，但在實際搜索時ω是非線性的過程，所以不能反映實際的優化搜索能力。對此，文中提出對ω的動態自調整策略，不僅可以控制粒子速度，而且還能平衡算法的全局搜索和局部搜索性能。具體調整方法如下:

(26)

其中，ωmax和ωmin分別為慣性權重的最大值和最小值；itermax和itermin分別為最大的迭代次數和最小的迭代次數。

當開始迭代時，迭代次數越小，慣性權重ω越大，粒子的運動速度、收斂速度都變快，從而易于全局搜索；反之，可將其作為局部搜索。

3.3 確定改進后算法的目標函數

適應度函數可作為PSO算法優化搜索的基本依據。文中采用的參數選擇的目標函數是常規的ITAE性能指標。為了得到它的最小值，ITAE優化法是由系統絕對值誤差與時間的乘積的積分進行表示，即適應度函數如下:

(27)

其中，假設每個粒子的位置都由一個5維向量表示，那么分數階控制器的參數向量表示為x=(kp,ki,kd,λ,μ)。根據改進的粒子群算法進行尋優而得到的全局最優解，也是控制器參數整定的最優解。

3.4 基于CAPSO算法的PIλDμ的參數優化

利用CAPSO算法整定PIλDμ參數的步驟如下:

Step1:將參數進行初始化。即隨機生成粒子的參數，如N、itermax、ω。

Step2:采用混沌的方法初始化xi、vi，將PIλDμ參數設為變量xi，在遍歷范圍內對xi、vi進行隨機初始化。由式27計算fi(x)，并與pi進行對比。若fi(x)

Step3:由式26調整ω，再由式24和式25更新xi、vi。

Step4:由式27計算更新后的適應度值，新粒子的個體和所處全局的最優位置，可得vt和xt。

Step5:判斷是否到達itermax。當iter≥itermax時，轉至Step7，否則轉至Step6。

Step6:判斷算法是否陷入局部最優。當第i個粒子連續N次滿足條件f(xi)-f(pi)<η時(η為設定的常數閾值)，則認為算法陷入局部最優，用式24和式25進行混沌搜索;否則轉至Step4。

Step7:返回x=(kp,ki,kd,λ,μ)，同時尋優完成。

3.5 Matlab仿真與分析

利用MATLAB軟件對PIλDμ的參數x=(kp,ki,kd,λ,μ)進行尋優，基于Oustaloup近似算法完成逼近近似的過程。假設擬合頻率范圍為[10-3,103]，階次為4，N為500，itermax為1 000，采樣時間為0.001 s，ωmin取0.4，ωmax取0.8。因為算法中的參數是隨機產生的，所以仿真結果取500次的平均值。

由表2、3和圖2所示，對PIλDμ控制器參數優化過程中的幾種算法進行了對比，可見主導極點法會產生大的超調量、調節時間漫長等問題。然而，PSO算法與它相比，超調量、調節時間等都有所下降，但不令人滿意。文中提出的CAPSO算法，仿真結果顯示上升時間短、超調量小，目標函數ITAE值也最小，適應度值為1.912 1，優于上述兩種優化算法。

表2 不同算法整定最優參數

表3 不同算法時域性能參數

圖2 3種算法下的PIλDμ階躍響應

將CAPSO算法應用于整數階PID控制器和PIλDμ進行參數優化，階躍響應曲線如圖3所示。可見，CAPSO-FOPID的控制效果要優于CAPSO-PID，而且其調節時間更少。從仿真結果看出，超調量從25.86%降至6.50%，減小了系統的穩態誤差。

圖3 在階躍信號下的兩種控制器的響應

4 結束語

將一種改進的PSO算法用于傳統的PID控制與分數階PID控制中，并進行了對比仿真。結果表明，在控制性能上，分數階控制器要優于傳統PID控制器，而且CAPSO-FOPID控制器在收斂速度與精度上也得到大幅改善。該方法既達到了系統的性能要求，也滿足了PIλDμ控制器參數尋優，同時也為分數階PID控制器在倒立擺系統中的控制方法提供了參考。