基于統計能量分析的熱效應對高頻聲振響應影響研究

王用巖，金偉，付煥兵，黃虎

（中國航空工業集團公司 成都飛機設計研究所，成都 610091）

隨機激勵下結構聲振響應問題是工程中的常見問題，如高速飛行器在飛行過程中會面臨復雜的振動、噪聲和熱環境[1-3]，此時熱效應對聲振響應的影響不可忽略。針對此問題，相關學者開展了一系列涉及熱效應的聲振響應分析研究。Avsec等[4]進行了簡支梁和固支梁在熱環境下聲振響應分析，Jeyaraj等[5]，Liu和 Li[6]，Kumar等[7]分別研究了熱效應對各向同性板、復合材料板和功能梯度材料板聲振響應的影響。這些研究主要集中在中低頻段，在高頻段熱效應對聲振響應影響的研究鮮有報道。

高頻聲振響應問題的求解方法有統計能量分析（Statistical Energy Analysis, SEA）、能量有限元等。Zhang等[8]和 Wang等[9]利用能量有限元法分別研究了熱效應對高頻激勵下梁和板聲振響應的影響。統計能量分析是現階段高頻聲振響應問題最常用的求解方法，針對此方法已經有比較多的研究[10-11]，但是目前鮮見專門針對SEA的熱效應影響研究。

板殼結構是統計能量分析中最常用的子系統，文中以L型耦合板為例，研究熱效應對統計能量分析中重要參數的影響。分別利用波法和有限元法（Finite element method, FEM）分析了不同溫度下材料參數和熱應力對耦合損耗因子的影響，以此來得到熱效應對高頻聲振響應的影響規律。

1 統計能量分析

統計能量分析是求解高頻聲振響應問題的有效方法，現在已經廣泛應用到航空航天等各領域。在統計能量分析中，能量是主要控制變量，其他變量如位移、應力等，均由能量計算而來。能量平衡方程為[10]：

式中：L是由耦合損耗因子和內損耗因子組成的矩陣；E是各子系統能量；Pin是輸入功率，f是分析頻帶的中心頻率。由式（1）可知，要求得各子系統的能量分布，需要確定三個重要參數：輸入功率、內損耗因子和耦合損耗因子。

對于單點激勵，板的輸入功率為：

式中：｜F｜為激勵力的幅值；Zm為激勵點的阻抗，當分析頻率較高時，與無限大結構的阻抗 Z∞相近。無限大板的阻抗為：

式中：Y、ρ和 μ分別為材料的彈性模量、密度和泊松比；h為板的厚度。熱效應對輸入功率的影響主要體現在材料參數的變化上，主要是彈性模量的變化。

內損耗因子大小為子系統阻尼比的2倍，通常由試驗測得。熱效應對它的影響同樣體現在材料參數的變化上。熱效應對輸入功率和內損耗因子的影響較為單一，文中不再作具體分析。相對而言，熱效應對耦合損耗因子的影響較為復雜，一方面是溫度變化引起材料參數的變化，主要是指材料彈性模量發生變化，另一方面是熱應力的影響，使得結構剛度發生變化。耦合損耗因子最常用的計算方法是波法[12-13]，但是此方法僅能考慮材料參數變化造成的影響，而不能考慮熱應力的影響。有限元法能夠有效解決中低頻聲振響應問題，求得結構的耦合損耗因子[14-15]。在某些情況下，如結構簡單、網格劃分密集時，可進行拓展從而解決中高頻問題[16]。文獻[14-16]的計算結果表明，雖然有限元法計算出耦合損耗因子與波法結果不完全一致，但是也有一定的參照意義。文中在這些工作的基礎上，結合有限元法在處理熱問題和預應力問題時的優勢，利用有限元法分析熱效應對耦合損耗因子的影響，進而得到熱效應對高頻聲振響應問題的影響，具有一定的工程參考意義。

2 耦合損耗因子計算

文中在計算耦合損耗因子時主要利用的是有限元法，波法計算出的結果作為參照對比。SEA中最常用的子系統為梁和板結構，文中選取典型的L型耦合板為研究對象，梁的計算結果與此類似。

2.1 波法計算

L型耦合板如圖 1所示，利用波法[14-15]對兩板間的耦合損耗因子進行計算。如圖1所示，兩板在相應坐標系下的三個位移分量分別為un、vn、wn（n=1,2，為所在板的編號）。入射角為 θ的彎曲波入射時，將在兩板上產生反射行波、透射行波以及反射近場波、透射近場波，彎曲、拉伸和剪切波與x軸的夾角分別為 αn、βn、γn，則 α1=θ。

由Snell定律得，一列行波在邊界發生反射或透射時，其反射波或透射波在平行于邊界面的方向波數必須相等，即有：

式中：kBn、kLn、kTn分別為板n的彎曲波數、拉伸波數、剪切波數，可由式（3）求得：

式中：f為分析頻率；cBn、cLn和cTn分別為三種波的相速度。

各種波的具體形式表示如下：

反射和透射近場波

投射和反射拉伸、剪切波與式（7）類似。根據邊界處的位移連續條件，轉角連續條件，彎曲平衡條件和力平衡邊界條件，可將波的能量求出。

對混響聲場，板1彎曲入射波對板2彎曲波的耦合損耗因子為：

式中：l12為兩板交線長度；A1為板 1面積；cg1為波群速度。其他各種波形對應的耦合損耗因子可用類似方法求出。

2.2 有限元法計算

結構振動方程的有限元形式為[17]：

式中：Ks、Cs、Ms分別為結構的剛度、阻尼和質量矩陣；dj為節點位移；Fs為激勵力；ω為圓頻率。

利用有限元法可求得節點位移，進一步可求出結構的振動能量為：

式中：EKE和EPE分別為振動的動能和勢能最大值。

當溫度變化不大時，材料的密度通常變化不大，故 Ms保持不變；材料阻尼(內損耗因子)隨溫度的變化這里也不再考慮，故 Cs保持不變。熱效應對剛度矩陣的影響分為兩方面：一是材料參數隨溫度變化，引起彈性模量發生變化；二是熱應力引起剛度矩陣發生變化。

當溫度發生變化時，式（11）修正為：

式中：KT是材料參數變化引起的剛度矩陣變化量；Kσ是熱應力引起的附加剛度矩陣。求解式（12）后，再利用式（11）可求得考慮熱效應后結構的振動能量。

當只有兩個子系統時，SEA的控制方程為：

式中：ηn、En、Pn分別為板n的內損耗因子、振動能量和輸入功率；η12和η21為兩子系統間耦合損耗因子。

當兩個子系統相同時，η12=η21；如果只在子系統1上施加激勵，則P2=0，由式（14）得：

板的振動可分為三種形式，即彎曲、拉伸和剪切振動。在SEA中，這三種振動被區分為三類子系統。在FEM中，這三種變形耦合到一起難以區分。在薄板假設條件下，結構在受到垂直于板面方向的激勵時主要為彎曲振動，此時可近似地把板的振動能量等效為彎曲波的能量。在式（15）中，內損耗因子是已知的，子系統的能量通過計算得到，然后可求出結構間彎曲-彎曲的耦合損耗因子，這也是SEA中最常用的耦合損耗因子。

3 算例研究

3.1 分析模型

文中采用典型的L型耦合板為研究對象，如圖2所示。激勵位置為板1中心處，激勵力為幅值為1 N的簡諧力，除耦合邊外其他邊均固支。

板的材料為鋁合金，邊長為0.4 m，厚度為6 mm，材料參數見表1。彈性模量隨溫度變化而變化，隨溫度變化的材料參數H可表示為[18]：

式中：H0、H-1、H1、H2和H3為溫度T的系數，見表2。計算可得，材料彈性模量在20 ℃ （293 K）時為 71.1 GPa，60 ℃時為 66.5 GPa，320 ℃時為47.7 GPa。

表1 板材料參數

表2 鋁合金彈性模量的熱相關參數

SEA主要用于處理高頻問題，耦合損耗因子在高頻段才具有意義。同時，由于FEM在處理高頻問題時具有限制，計算頻率不能過高，因此文中設置的分析頻帶為400～5000 Hz，計算的頻率間隔為20 Hz。

3.2 FEM計算結果驗證

有限元分析使用軟件ANSYS完成，板結構采用Shell181單元進行計算。因分析頻率較高，故網格需劃分十分密集，為了兼顧計算效率和計算精度，需對網格收斂性進行考查。經過驗證，0.002 m的網格可以滿足計算精度要求。

利用波法和有限元法計算出板的耦合損耗因子如圖3所示，FEM 計算結果在頻域上存在一個比較大的波動。為了便于與波法結果作比較，需將 FEM計算結果擬合為一條光滑的曲線。直接將FEM曲線進行擬合結果并不理想，由于波法計算出的耦合損耗因子在雙對數坐標下為一條直線，因此在雙對數坐標系下將FEM計算出的耦合損耗因子進行擬合。FEM曲線上的數據點(xi, yi)，轉化到對數坐標下變為(lg(xi),lg(yi))，利用最小二乘法擬合為直線 y=kx+b, 則轉化到線性坐標下的曲線方程為lg(y)=klg(x)+b，在圖中記為”Fitted FEM”。

由圖3可知，波法和擬合前的FEM計算結果在高頻段比較接近，在低頻段差距較大。造成這一差距的原因是多方面的：第一，兩種方法在輸入功率計算和邊界條件處理等方面有所不同，尤其在低頻段，邊界條件造成影響較大；第二，波法主要用于求解頻率較高時的耦合損耗因子，而FEM則主要用來解決低頻問題，這兩種方法在求解時存在自身的局限性；第三，FEM計算時將所有的能量等效為彎曲振動能量，而波法同時考慮了彎曲、拉伸、剪切三種波形，這也會造成一定誤差。擬合后的FEM與波法計算出的耦合損耗因子相比，整體趨勢上一致，具體數值上有一定差距，但是差距有限。

總的來說，利用FEM和波法計算出的耦合損耗因子，雖然存在一些差距，但是從整體上看，兩種方法的計算結果仍然是相近的，其他文獻[10,15]的一些計算結果也在某種程度上說明了這一點。在 SEA中，波法是最常用的耦合損耗因子計算方法，其計算結果已經得到認可，通過FEM和波法的計算結果對比，說明對于文中所研究的 L 型耦合板結構，在關注的頻帶（400～5000 Hz）范圍內，利用FEM計算出的耦合損耗因子是可信的。

3.3 不同溫度下材料參數對耦合損耗因子的影響

在不同溫度下，結構材料參數有所不同，主要是彈性模量發生變化。20 ℃和 60 ℃時計算出的板耦合損耗因子如圖4所示。從圖4可知，波法計算出的不同溫度下耦合損耗因子幾乎完全一致，FEM 計算出的結果在橫坐標上有一個比較小的偏移量，對結果影響不大。

20 ℃和 60 ℃時板的固有頻率見表 3，可以看出，60 ℃時板的各階固有頻率相對于 20 ℃時變化很小，減小約為3.23%。不論低階還是高階固有頻率，其減小幅度是一致的。可以用四邊簡支矩形薄板的固有頻率計算公式對此現象進行說明。

表3 不同材料參數下板的固有頻率

長和寬分別為a和b的矩形薄板，第(i, j)階的彎曲固有頻率ωi,j為：

則板的各階固有頻率變化率為：

將溫度變化的幅度增大，在 320 ℃時材料的彈性模量為 47.7 GPa，結構的模態特性也會有顯著變化。由式（18）可知，320 ℃時板的各階固有頻率相對于20 ℃時大約減小18%。此時，板的耦合損耗因子如圖5所示，與固有頻率的變化規律相同，當溫度升高后，耦合損耗因子在整體上有所減小。利用波法計算出的耦合損耗因子，320 ℃的值小于20 ℃時的值 10%左右，FEM 的計算結果雖然與波法有一定差距，但是在溫度改變時曲線變化規律與波法一致，這從某種程度上也證明了FEM計算耦合損耗因子方法的可靠性。

總的來說，溫度變化時材料參數的改變會使結構間耦合損耗因子整體上發生變化，當溫度升高時材料彈性模量減小，對應的耦合損耗因子有所減小，溫度降低時結果相反。耦合損耗因子變化的幅度由溫度改變的大小控制，當溫度變化較小時（40 ℃），材料參數變化對耦合損耗因子的影響可以忽略不計；當溫度變化較大時（300 ℃），耦合損耗因子受一定影響，但變化幅度并不是特別大。

3.4 熱應力對耦合損耗因子的影響

如圖 2所示的四邊固支板，溫度由 20 ℃變為60 ℃時，固支板受到壓應力作用，其應力分布如圖6所示。除個別應力集中位置處，板的絕大部分位置應力為100 MPa左右，這已經可以表征出比較惡劣的溫度變化環境。

零應力（Standard）和壓應力（Δt=40 ℃）作用下板的固有頻率見表4。從表4中可以看出，壓應力作用后板的固有頻率有所減小，尤其是前幾階固有頻率減小的幅度很大，當階次升高后，兩種狀態板的固有頻率變得比較接近。第66到68階固有頻率，兩者的差距不超過 4%。兩種狀態下計算出的耦合損耗因子如圖7所示，其分布規律與固有頻率一致，均是在頻率較低處有一定差距（擬合曲線“中和”了原曲線的一些細節，因而比較接近），在頻率較高時壓應力的作用對板的耦合損耗因子幾乎無影響。

表4 壓應力(20～ 60 ℃)作用下板的固有頻率

零應力和拉應力作用下板的耦合損耗因子如圖8所示，曲線分布規律與如圖7一致，拉應力作用使得頻率較低處板的耦合損耗因子產生了一定變化，而對頻率較高處計算出的耦合損耗因子影響很小。熱應力的施加會使結構的固有頻率產生一定變化，其中，拉應力會使結構固有頻率增大，壓應力會使結構固有頻率減小。預應力會使結構前幾階固有頻率產生比較大的變化，而對高階固有頻率的影響有限。與之相對應，預應力的施加會使低頻段結構的耦合損耗因子產生比較大的變化，而對高頻段的耦合損耗因子影響較小

3.5 熱應力對耦合損耗因子的影響

將材料參數變化和熱應力的影響疊加，綜合考慮熱效應對耦合損耗因子的影響。當溫度由20 ℃變為60 ℃時，熱效應對 L型板固有頻率的影響見表 5。該表可以看作是表3和表4的疊加。熱效應使低階固有頻率變化較大，這主要是熱應力作用的影響。此時，材料參數變化和熱應力對結構的高階固有頻率影響不大，故此時熱效應的影響也有限。

表5 熱效應對板固有頻率影響

當溫度由 20 ℃變為 60 ℃時，熱效應對 L 型板耦合損耗因子的影響如圖9所示。由于溫度變化幅度比較小，材料參數變化有限，所以熱效應的影響主要體現在熱應力作用上。因此，圖9中曲線與圖7類似，在低頻段熱效應的影響較明顯，在高頻段熱效應的影響有限。

5 結論

有限元法在工程中常用于解決低頻問題，但是在結構簡單、網格劃分足夠密集時可作適當拓展用于解決中高頻問題。在400～5000 Hz頻帶范圍內，文中利用FEM 計算了L型板線連接的耦合損耗因子，其計算結果與波法計算結果基本一致，證明了FEM計算耦合損耗因子的有效性。

熱效應對耦合損耗因子影響可分為兩方面：一方面是溫度變化引起材料參數變化；另一方面是溫度變化會使結構受到熱應力作用。以固支板為研究對象，利用波法和 FEM，研究了溫度變化時材料參數變化對耦合損耗因子的影響：在溫度升高時，材料彈性模量降低，會使結構的各階固有頻率有所降低，耦合損耗因子在整體上會有所減小；溫度降低時結果相反。利用 FEM研究了熱應力對耦合損耗因子的影響：熱應力對模態的影響主要體現在低頻段，對高頻段的影響有限；與之相對應，熱應力對低頻段（此低頻段指的是在400～5000 Hz中頻率相對較低的頻段，實際上也屬于高頻范疇）耦合損耗因子的影響較大，對高頻段耦合損耗因子的影響較小。

分析計算表明，在通常情況下，熱效應對耦合損耗因子的影響，低頻段需要考慮材料參數變化和熱應力共同作用，而在高頻段主要考慮材料參數變化即可。熱效應對耦合損耗因子的影響，實際上體現的是熱效應對聲振耦合問題響應的影響。當溫度變化較大時，熱應力較大，此時熱效應對 SEA 的影響不可忽略，尤其是在低頻段，熱效應的影響更為明顯。