巧添輔助線解答幾何疑難問題

（湖南省洞口縣文昌街道城關初級中學 湖南邵陽 422300）

添置輔助線是解幾何題中常用的手段，在幾何問題中，添加輔助線可以說是解題的關鍵點。輔助線好比是一座橋梁，將已知條件與待解決的問題聯系起來，從而找到解決問題的方法，起到化難為易的作用。很多平面幾何都不是直接可以證明出來的，而是要借助輔助線才能證明出來。添加輔助線時，應從題設條件和結論之間的關系來分析，使輔助線成為有效的過渡之“橋”。

下面我舉幾個例子來說明：

一、添加輔助線，將不規則的四邊形轉化為三角形

例1：如圖1.已知在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°

圖1

求AD和BC的長

分析：作輔助線、延長邊AD和BC相交于點E，將四邊形ABCD補全成△ABE再利用直角三角形性質求解。

解：延長BC、AD相交于點E

∵∠B=∠D=90°∴△ABE和△CDE都是直角三角形

∵∠B+∠ADC=180°∴∠A+∠BCD=180°∵∠A：∠BCD=1：2

說明：本題采用延長補形法，將不規則的四邊形補形成為直角三角形，再利用勾股定理求解。

二、作輔助線，將三角形整體移動，構成特殊圖形進行計算

例2：如圖2，已知△ABC中，∠ACB=90°

圖2

A C=B C，D、E是A B上的兩點，且AD=4，BE=6，∠DCE=45°，求DE的長。

分析：已知條件中AD、BE和所求DE分布在不同的三角形中，可以在△ABC的外部做一個△CBF，使△CBF≌△CAD，從而得到BF=AD，EF=DE，將三條線段移到同一個三角形中，求解。

解：在△ABC的外部，作△BCF，使∠BCF=∠ACD CF=CD

連結 EF

∵AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF ∴△ACD≌△BCF

∴AD=BF ∠A=∠CBF ∵∠ACB=90°

∴∠EBF=90° ∵∠DCE=45° ∴∠ACD+∠ECB=45°

即：∠ECF=45° ∴△DCE≌△FCE ∴DE=EF

說明：本題采用作輔助線的方法，將△ACD移到BC邊的右側，從而將不相關聯的三條線段，移至同一直角三角形中求解。

三、利用補形法，把圖形補成有利于問題解決的基本圖形

例3：如圖3，已知△ABC中，AO=DO，AO是∠BAC的角平分線，CD⊥AO，垂足為D，求證：AC=3AB

圖3

分析：延長AB、CD相交于E點，由AO平分∠BAC，AD⊥CD，可 知AC=AE，DE=DC，取BE的中點F，連接DF，利用三角形中位線性質可得，AB=BF=EF，最后可得AC=AE=3AB。

證明：延長AB、CD相交于點E，取BE的中點F，連接DF。

∵AO平分∠BAC，AD⊥CD ∴△ACD≌△AED ∴ AC=AE CD=DE

∵F為BE的中點∴DF∥BC 又∵AO=DO ∴AB=BF

∵F為BE的中點 ∴AB=BF=EF

即：AE=3AB ∴AC=3AB

說明：本題是將不規則圖形補形成等腰三角形，再利用三角形中位線的性質做橋梁，得出結論。