關于洛必達法則的若干思考

（石河子大學理學院數學系 新疆石河子市 832001）

引言

函數極限是高等數學中一部分重要的內容。若當自變量x→a（a 為常數或∞）時，兩個函數f(x)，g(x)都趨于零或者無窮，這時極限可能存在，也可能不存在，這時稱這種極限為未定式極限，并分別記為或。 我們通常會使用洛必達法則去解決這一類極限。類似地，在解決0·∞、∞?∞、00、1∞、∞0這些類型的未定式極限時，也可先將其轉化成或型未定式，再求其極限.當然，在使用洛必達法則求此類極限時有一定的使用條件，并且洛必達法則并不是解決上述類型的極限的最簡便的方法。本文論述了運用洛必達法則解決型未定式極限時遇見的若干問題，并且簡述了復變函數中解析函數求極限時洛必達法則的使用條件。[1]

1．洛必達法則

定理1（柯西（Cauchy）中值定理）：函數f(x)，g(x)滿足：①在閉區間[a,b]上連續；②在開區間(a,b)內可導；③對任意x∈(a,b)且g'(x)≠0，則至少有一點ξ∈(a,b)[2]

定理2（洛必達法則）：函數f(x)，g(x)在點x0的某個鄰域內有定義，滿足：[3]

①當x→a 時，函數f(x)，g(x)都趨于零；

②在x0的該鄰域內，其導數f'(x)，g'(x)都存在且g'(x)≠0；

證明：洛必達法則成立時，我們補充定義f(x0)=g(x0)=0，這樣就使得f 與g 在x0點處連續。任取x∈U0(x0)，在區間[x0,x]（或[x, x0]）上，滿足柯西中值定理條件，

3．有些未定式直接使用洛必達法則求極限會比較麻煩，可以綜合求極限的其他方法，如等價無窮小代換、重要極限、極限運算法則等盡可能地先簡化算式。

解：原式若直接用洛必達法則解此題比較麻煩，可先利用等價無窮小簡化，再求解。

4．洛必達法則仍可以解決復函數極限問題

定理3：若f(z)及g(z)在z0解析，

實際上，若函數在z0點處解析，有該函數在z0的領域內處處可導，

即：

下面從冪級數角度來證明.證明：由函數f(z)及g(z)均在z0點解析，則在z0點的某個領域內，函數f(z)及g(z)可展為：

即

證畢

結語

1．在使用洛必達法則求未定式極限問題時，因當注意洛必達法則的使用條件，結合具體題型，選擇合適的方法。