常見離散型概率分布及其聯(lián)系

（北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 北京 100032）

一、常見離散型概率分布及其數(shù)學(xué)期望

本小節(jié)主要介紹一些常見的古典概率模型，并簡(jiǎn)單計(jì)算出這些常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。[1]

1．伯努利分布

假設(shè)在一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中（伯努利試驗(yàn)），事件發(fā)生的概率p,不發(fā)生的概率為q=1-p,也就是說(shuō)P(A)=p,P(`A)=1-p 我們定義隨機(jī)變量1為，[2]

我們稱1服從伯努利分布,記作

則伯努利分布的概率分布為，

伯努利分布的數(shù)學(xué)期望為，

2．二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布是伯努利分布的推廣，在次伯努利試驗(yàn)中，我們定義隨機(jī)變量為事件發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量2服從二項(xiàng)分布,記作

隨機(jī)變量的概率分布為，

二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為，

3．幾何分布

假設(shè)某人射擊每次中靶的概率為, 并且每次射擊互不影響，（相當(dāng)于次伯努利試驗(yàn)）,若將射擊進(jìn)行到有一次中靶為止，我們定義隨機(jī)變量3為總共射擊的次數(shù)。我們稱隨機(jī)變量3服從幾何分布,記作

那么，幾何分布的概率分布為，

幾何分布的數(shù)學(xué)期望為，

4．帕斯卡分布

帕斯卡分布是幾何分布的推廣，假設(shè)某人射擊每次中靶的概率為, 并且每次射擊互不影響，若將射擊進(jìn)行到有（這里為正整數(shù)）次中靶為止，我們定于隨機(jī)變量4為總共射擊的次數(shù)。我們稱隨機(jī)變量4服從帕斯卡分布，記作

帕斯卡分布的概率分布為，

帕斯卡分布的數(shù)學(xué)期望為，

5．超幾何分布

假定在件產(chǎn)品中有件次品，其余產(chǎn)品為正品，在件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，記5為次品件數(shù)，則稱隨機(jī)變量5服從超幾何分布，記作

超幾何分布的概率分布:

二、離散型隨機(jī)變量之間的聯(lián)系

超幾何分布與二項(xiàng)分布在極限意義下是統(tǒng)一的，即超幾何分布在極限意義下（總產(chǎn)品數(shù)足夠多時(shí)）逼近二項(xiàng)分布，在下文我們給出這個(gè)結(jié)論。

假設(shè)是一個(gè)服從超幾何分布的隨機(jī)變量，即其概率分布為：

在這里我們假設(shè)，M=Np,其中為介于到之間的常數(shù)。

將式P(X=k)化簡(jiǎn)可以得到，

取極限我們可以得到，

因此我們有，

故當(dāng)足夠大時(shí)，超幾何分布逼近了二項(xiàng)分布。

從超幾何分布和二項(xiàng)分布所代表的實(shí)際意義來(lái)看，我們假設(shè)次品總數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例一定，也就是說(shuō)次品的概率是確定的，并且當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)足夠多，抽取的產(chǎn)品數(shù)比較少時(shí)，我們進(jìn)行有放回的抽取產(chǎn)品和無(wú)放回的抽取產(chǎn)品，抽到次品的概率幾乎是不變的，也就是說(shuō)從所有產(chǎn)品抽取件產(chǎn)品出來(lái)，可以看作是一件一件抽取出來(lái)的，即可以看作是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這樣超幾何分布在極限意義下（總產(chǎn)品數(shù)足夠多時(shí)）逼近二項(xiàng)分布。

結(jié)語(yǔ)

本文所介紹的伯努利分布、二項(xiàng)分布、幾何分布和帕斯卡分布都是和伯努利試驗(yàn)相關(guān)的概率分布，但超幾何分布并非和伯努利試驗(yàn)相關(guān)的概率分布，主要系從超幾何分布實(shí)際意義來(lái)看，抽取產(chǎn)品是無(wú)放回的，但當(dāng)總產(chǎn)品數(shù)足夠多時(shí)，無(wú)放回的抽取產(chǎn)品可以看為伯努利試驗(yàn)，這樣超幾何分布也可以看作是和伯努利試驗(yàn)相關(guān)的概率分布。