構成數學命題的八個條件淺析

（遼寧省大連瓦房店師范學校 遼寧大連 116300）

我們研究一個數學命題，總要分析它在什么條件下才能成立。或者說，要使一個數學命題成立，必須具備什么條件。構成數學命題的條件有八種形式，它們實質上是數學命題的條件（前提）與結論之間的八種邏輯關系。如果不了解這些條件與命題之間的邏輯關系，就不可能透徹地理解數學定義的含義，也不可能深刻地認識定理的證明和解題過程。構成數學命題的八個條件既是基礎數學教學的重點，又是基礎數學教學的難點。本文試給出命題八個條件的一種言簡意賅的定義方式，并結合例題進行淺析，僅供讀者參考。

一、充分條件

要證明已知命題的條件A是結論B成立的充分條件，只要進行由的論證即可。

例1：已知命題“若兩個角是同位角，則這兩個角相等。”，求證該命題的條件是結論成立的充分條件。

必須注意的是，充分條件不是唯一的。

例如：在已知真命題“若兩個角是直角，則這兩個角相等。”中，由于條件“兩個角是直角”可以分成“對頂的兩個直角”和“不對頂的兩個直角”兩種情形，因此“對頂的兩個直角”和“不對頂的兩個直角”都可作為結論“這兩個角相等”的充分條件。因此，使已知命題的結論“這兩個角相等”成立的充分條件有兩個。這就是說，只要有了其中的一個充分條件，而缺了另一個充分條件，也能夠推出結論成立的結果。由此可知：有了充分條件A，必有結論B；沒有充分條件A，不一定沒有結論B。但是，給出使結論B成立的充分條件的個數越少越好，要少到不能再少的程度。否則，往往會產生有多余條件的錯誤數學命題或錯誤定理。

二、非充分條件

已知命題“若有條件A，則有結論B”。如果由條件A推不出結論B（由，說明原命題是假命題）成立，則稱已知命題的條件A是結論B成立的非充分條件（即條件A不是結論B成立的充分條件）。

例2：已知命題“若兩個加數都是偶數，則它們的和是奇數。”，求證該命題的條件是結論成立的非充分條件。

三、必要條件

由于一個命題與它的逆否命題同真同假，因此構成命題的必要條件定義通常采取以下兩種形式：

定義1。已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“沒有條件A，就推不出結論B（無）成立”為真命題，那么稱已知命題的條件A是結論B成立的必要條件。

定義2。已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“由結論條件A（即結論B是條件A成立的充分條件）”，那么稱已知命題的條件A是結論B成立的必要條件。

根據上述兩種定義，判斷已知命題的條件A是結論B成立的必要條件，可采取如下兩種辦法：

1．根據必要條件定義1，只要斷定沒有條件A就沒有結論B即可。

2．根據必要條件定義2，由結論B條件A，論證結論B是條件A成立的充分條件。由于用這種辦法證明簡便易行，所以常被人們所采用。具體說來，要證明“條件A是結論B成立的必要條件”只要證明“結論B是條件A成立的充分條件”即可。同理可知，要證明條件A是結論B成立的充分條件，只要證明結論B是條件A成立的必要條件就行了。

例3：已知命題“若兩個三角形的三條邊對應相等，則這兩個三角形全等。”求證該命題的條件是結論成立的必要條件。

證明1：∵若沒有該命題的“兩個三角形的三條邊對應相等”這個條件，就推不出（）該命題的結論“兩個三角形全等”成立。∴已知命題的條件是結論成立的必要條件。

四、非必要條件

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“沒有條件A，也可能推出結論B”是真命題（等價于真命題“由結論B條件A”），則稱已知命題的條件A是結論B成立的非必要條件（即條件A不是結論B成立的必要條件）。

例4：已知命題“若兩個加數都是奇數，則它們的和是偶數。”，求證該命題的條件是結論成立的非必要條件。

證明1：∵若沒有該命題的條件“兩個加數都是奇數”，也可能推出（）該命題的結論“它們的和是偶數”成立，例如兩個偶數的和是偶數，∴已知命題的條件是結論成立的非必要條件。

從上述“四個條件”定義的內涵中，恰當地選取兩個相容的內涵，作為構成新條件定義的內涵，還可以衍生出“四個新條件”定義的外延，即充分條件、充分非必要條件、必要非充分條件和非充分必要條件（詳見插圖）。它們的定義如圖：

五、充分非必要條件

一般而言，要判斷條件A是結論B成立的充分非必要條件，依據充分不必要條件的定義，從兩個方面著手即可。

例5：已知命題“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等。”，求證該命題的條件是結論成立的充分非必要條件。

例2：已知命題“如果a=b，那么a2=b2。”，求證該命題的條件是結論成立的充分非必要條件。

六、必要非充分條件

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“沒有條件A，就沒有結論B（無）。”是真命題（必要性成立），且“由條件A推不出結論B （由）。”也是真命題（非充分性成立，說明原命題是假命題），那么稱已知命題的條件A是結論B成立的必要非充分條件。

定義中的“沒有條件A，就沒有結論B”是說，A是B成立的必要條件。“由A推不出B”是說A是B成立的非充分條件。

根據定義，判斷條件A是結論B成立的必要非充分條件要從兩方面著手：一是判斷條件A是結論B成立的必要條件；二是判斷條件A是結論B成立的非充分條件。

例6：已知命題“整數是偶數。”，求證該命題的條件是結論成立的必要非充分條件。

證明：∵沒有該命題的條件“整數”，就推不出（）該命題的結論“偶數”成立，∴必要性成立。又∵由該命題的“整數”這一條件推不出（）該命題的結論“偶數”成立，∴非充分性成立。綜上所述，已知命題的條件是結論成立的必要非充分條件。

七、充分必要條件（簡稱充要條件）

由充分必要條件的定義不難看出：對于一個真命題而言，如果一個命題的條件A是結論B成立的充分必要條件，那么這個命題的結論B也是條件A成立的充分必要條件。也就是說條件A與結論B互為充要條件，可記為“”。

例7：已知命題“若三角形中有兩個角相等，則這個三角形是等腰三角形。”，求證該命題的條件是結論成立的充分必要條件。

證明：∵由該命題的“三角形中的某兩個角相等”這一條件能夠推出（）該命題的結論“這個三角形是等腰三角形”成立，∴充分性成立；又∵由該命題的結論“這個三角形是等腰三角形”能夠推出（）該命題的條件“該三角形中的某兩個角相等”成立，∴必要性成立。因此，已知命題的條件是結論成立的充分必要條件。

“充分必要條件”通常也可以用“當且僅當”或“在且僅在”或“須且只須”等詞語來代替。這里的“當”、“在”、“須”指的是“充分條件”，而“僅當”、“僅在”、“只須”指的是“必要條件”。

例如：“梯形的兩個底角相等”是“梯形是等腰梯形”的充分必要條件可以表達成“一個梯形，當且僅當它的兩個底角相等，是等腰梯形”；也可以表達成“一個梯形，在且僅在它的兩個底角相等，是等腰梯形”；還可以表達成“一個梯形，須且只須它的兩個底角相等，是等腰梯形”。

如果一個定理的條件是結論成立的充分必要條件的話，那么它可以作為下定義的性質給與該定理的結論相同的概念下定義。

例如：由于“一個三角形的三條邊相等”和“一個三角形的三個角相等”都是“這個三角形是等邊三角形”的充分必要條件，因此等邊三角形的定義方法有兩種：一是“三條邊相等的三角形是等邊三角形”，二是“三個角相等的三角形是等邊三角形”。由此可知，一個概念可以有不同的定義，但它們都是等價的。

八、非充分必要條件

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“由條件A推不出結論B（由）。”是真命題（非充分性，說明已知命題是假命題），且“無條件A，可能推出結論B（無A可能）。”也是真命題（非必要性），那么稱原命題的條件A是結論B成立的非充分必要條件。

定義中的“由條件A推不出結論B”是說，條件A是結論B成立的非充分條件；“無A可能”是說，條件A是結論B成立的非必要條件。

例8：已知命題“能被2整除的整數是奇數。”，求證該命題的條件是結論成立的非充分必要條件。

值得注重的是，以數學命題條件的名稱中是否含有“非充分”三字劃分，數學命題的八個條件可以分成兩類：含有“非充分”三字的一類中包括3個，即非充分條件、必要非充分條件和非充分必要條件，它們各自的命題都是假命題；未含有“非充分”三字的另一類中包括5個，即充分條件、必要條件、非必要條件、充分非必要條件和充分必要條件，它們各自的命題都是真命題。