新課標高考下的轉化與化歸思想

李興明

摘 要：轉化與化歸思想是高中數學的核心思想方法，在高中數學教學中應該從整體上把握好轉化與化歸的思想方法的教學。

關鍵詞：轉化與化歸 高考體現 方法與策略

解決數學問題時，對那些直接求解較為困難的數學問題，我們可通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇恰當的數學方法進行轉化，將原問題歸結到一個已經解決或較容易解決的新問題中去，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法就是“轉化與化歸思想”。轉化與化歸思想是高中數學的核心思想方法，在高中數學教學中應該從整體上把握好轉化與化歸的思想方法的教學。

一、轉化與化歸思想在新課標高考中的體現

（一）數與形的轉化

數與形的轉化指利用幾何性質研究代數問題或借助數量關系的討論研究幾何性質，從而為解題提供方便。

例1（2017年課標III）若 ， 滿足約束條件 ，則 的最小值為__________。

【解析】作出可行域，如圖中陰影部分所示。

目標函數化為 ，當直線 在 軸上的截距最大時，目標函數 取得最小值，故目標函數在點 處取得最小值 .

【評析】本題考查了簡單的線性規劃知識；考查了數與形的轉化。

（二）正與反的轉化

正與反的轉化指當遇到的數學問題從正面入手難度較大或分類較多時，可先求它的反面，再取補集，也指直接證明較難時用反證法證明。

例2已知函數 在 上無單調性，求k的取值范圍。

【解析】函數 圖象的對稱軸是 ，當 ，即 時， 在 上有單調性，故 在 上無單調性的k的取值范圍是 。

【評析】本題考查了二次函數的單調性，從正面求較繁瑣，轉為先求反面，再取補集較易。

（三）一般與特殊的轉化

一般與特殊的轉化指一般性難解決的問題可從特殊情況入手尋找解題思路；特殊問題難入手的也可先研究一般情況，再向特殊轉化。

例3（2014年課標II）已知偶函數 在 上單調遞減， ，若 ，則 的取值范圍是__________。

【解析】舉特例 圖象 向右平移1個單位得 圖象

故使 的 的取值范圍是

【評析】本題考查了函數的性質，舉特例函數分析較簡單，運用一般與特殊的轉化.

（四）相等與不等之間的轉化

相等與不等之間的轉化指在某些情況下，利用相等與不等相互轉化，把問題化難為易。

例4（2013年課標II）△ABC中內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值。

【解析】（Ⅰ）B= ；（Ⅱ） .由余弦定理得 .又 ，故 ，當且僅當 時等號成立，故△ABC面積的最大值為 。

【評析】本題考查正、余弦定理及基本不等式，考查相等與不等之間的轉化.

（五）實際問題與數學模型的轉化

實際問題與數學模型的轉化指選擇恰當的數學模型來更加有效的解決實際問題。

例5（2017年課標II）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）。

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

【解析】從塔頂層往下數，每層的燈數構成一個公比為2的等比數列，由題意得 ，解得 ，故選B.

【評析】本題考查了數列模型的應用，考查了實際問題與數學模型的轉化。

二、轉化與化歸思想滲透到平時教學的策略

（一）用轉化與化歸思想指導基礎知識教學，在基礎知識教學中培養轉化與化歸思想

注重在基礎知識的教學中揭示蘊涵轉化與化歸思想。如討論直線和圓的位置關系時可轉為研究圓心到直線的距離與圓的半徑的關系；解一元二次不等式時轉化為研究對應的二次函數的圖象，利用拋物線求解；求拋物線上的點到焦點的距離常利用拋物線定義轉為求它到準線的距離；求空間角利用向量角求解更加簡單。

（二）用轉化與化歸思想指導解題練習，在問題解決中運用轉化與化歸思想方法，提高學生運用轉化與化歸思想方法的解題意識

新課標高考的總體趨勢是注重基礎，加強靈活，穩中求新，在研究函數、解析幾何、立體幾何、概率統計、實際應用問題等新課標的熱點問題時，如果用轉化與化歸數學思想，將會使問題明了簡便。

總之，轉化與化歸思想是高中數學思想方法的核心，我們在數學教學的每一個環節中，都要重視轉化與化歸數學思想方法的教學，培養學生解決問題的能力，讓學生終生受益。

參考文獻

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