弧面分度凸輪機構(gòu)壓力角的通用表達式研究

李 儉， 饒 雄， 唐 茂， 鄧女原媛， 熊美玲

(成都大學(xué) 機械工程學(xué)院， 四川 成都 610106)

0 引 言

目前，弧面分度凸輪被廣泛應(yīng)用于各種間歇運動機構(gòu)中，其特點為剛度大、傳動扭矩大、定位準確等.相關(guān)研究顯示，間歇運動機構(gòu)壓力角是影響該類機構(gòu)性能和受力情況的重要參數(shù)之一，其對機構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸也有較大的影響.對此，國內(nèi)外學(xué)者對弧面分度凸輪的廓面方程、機構(gòu)壓力角與主曲率等方面進行了研究，并取得了較多的成果[1-8].但在上述研究中，其推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，且?guī)缀沃庇^性不強.同時，由于滾子形狀的不同以及凸輪軸與從動盤轉(zhuǎn)動軸線之間角度的不同，從而造成最終數(shù)學(xué)表達式的不統(tǒng)一，這在一定程度上增加了公式推導(dǎo)的難度和工作量，致使在開發(fā)弧面凸輪相關(guān)軟件時，相關(guān)工作變得極為繁瑣與復(fù)雜[9-10].此外，目前尚未有相關(guān)文獻報道過運用單參數(shù)曲面族包絡(luò)面理論對弧面分度凸輪機構(gòu)壓力角通用表達式的研究.對此，本研究基于單參數(shù)曲面族包絡(luò)面理論，將弧面分度凸輪滾子的不同形狀(圓柱滾子、圓錐滾子及雙曲線滾子)和凸輪軸與從動盤轉(zhuǎn)動軸線之間形成不同角度時的情況進行統(tǒng)一性處理，推導(dǎo)出了弧面分度凸輪廓面方程的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達式，在此基礎(chǔ)上建立了弧面分度凸輪機構(gòu)壓力角的通用表達式，并通過實際應(yīng)用模型驗證了本方法的正確性.

1 弧面分度凸輪廓面方程的建立

弧面分度凸輪機構(gòu)示意圖如圖1所示，其相應(yīng)的坐標系統(tǒng)及參數(shù)含義如圖2、3所示.

圖1弧面分度凸輪機構(gòu)簡圖

圖2滾子示意圖

圖3滾子坐標系統(tǒng)

本研究基于單參數(shù)曲面族包絡(luò)面理論[11-12]，將弧面分度凸輪的轉(zhuǎn)動角位移φc視為該曲面族的參變量，同時也作為輸入運動參數(shù)，從動轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角位移φt作為輸出運動參數(shù).用滾子轉(zhuǎn)角θ和沿滾子軸線的高度坐標h來描述滾子與弧面凸輪輪廓曲面相嚙合的外表面曲面方程，再應(yīng)用包絡(luò)面理論建立弧面分度凸輪廓面方程的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型.預(yù)先給定運動規(guī)律，φt=φt(φc)，從而推導(dǎo)出弧面凸輪的輪廓曲面方程為，

rc=rc(θ，h,φc)={A1[cos(θ+β)sin(φt-α)cosφc-

cos(θ+β)sinβcos(φt-α)sinφc+sin(θ+β)×cosβsinφc]-A2[sin(θ+β)sin(φt-α)cosφc-sin(θ+β)sinβcos(φt-α)sinφc-cos(θ+β)×cosβsinφc]-(δ+L-h)[cos(φt-α)cosφc+sinβsin(φt-α)sinφc]+bcosφc}i-{A1[cos(θ+β)sin(φt-α)sinφc+cos(θ+β)sinβcos(φt-α)cosφc-sin(θ+β)cosβcosφc]-A2[sin(θ+β)sin(φt-α)sinφc+sin(θ+β)sinβcos(φt-α)cosφc+cos(θ+β)cosβcosφc]-(δ+L-h)×[cos(φt-α)sinφc-sinβsin(φt-α)cosφc]+bcosφc}j-{A1[cos(θ+β)cosβcos(φt-α)+sin(θ+β)sinβ]-A2[sin(θ+β)cosβcos(φt-α)-cos(θ+β)sinβ]+(δ+L-h)cosβsin(φt-α)k

(1)

式中，

L-h)](φt′-sinβ)

J=(A1A3+A2A4)sinβsin(φt+α)

A1=r+W1htanγ；A2=W2htanγ；

A3=W1tanγ；A4=W2tanγ.

其中：當W1=0，W2=0時，弧面凸輪的輪廓為圓柱滾子；當W1=1，W2=0時，弧面凸輪的輪廓為圓錐滾子；當W1=0，W2=1時，弧面凸輪的輪廓為雙曲線滾子.

2 機構(gòu)壓力角的通用表達式

弧面凸輪機構(gòu)壓力角，是指弧面凸輪與滾子外表面共軛接觸點處從動件運動方向與凸輪廓面法線之間的夾角，具體如圖4所示.

圖4弧面凸輪機構(gòu)壓力角示意圖

設(shè)弧面凸輪與滾子在接觸點處的單位公法矢量為n，該點處的壓力角為Ψ，從動件的單位方向矢量為p，其中n由下式定義，

(2)

式中，

B1=[-sinβsinφccos(θ+β)A1+sinβsinφcsin(θ+β)A2-cosφc(A1A3+A2A4)]cos(-φt+α)+[-cosφcA1cos(θ+β)+cosφcA2sin(θ+β)+sinβsinφc(A1A3+A2A4)]sin(-φt+α)+cosβsinφc[cos(θ+β)A2+sin(θ+β)A1]

B2=[-sinβcosφccos(θ+β)A1+sinβcosφcsin(θ+β)A2+sinφc(A1A3+A2A4)]cos(-φt+α)+[-sinφcA1cos(θ+β)-sinφcA2sin(θ+β)+sinβcosφc(A1A3+A2A4)]sin(-φt+α)+cosβcosφc[cos(θ+β)A2+sin(θ+β)A1]

B3=-cosβ[cos(θ+β)A1-sin(θ+β)A2]cos(-φt+α)+cosβ(A1A3+A2A4)sin(-φt+α)-sinβ[cos(θ+β)A2+sin(θ+β)A1]

從動件運動的單位方向矢量p可由下式確定，

(3)

式中，Wt為從動件的速度矢量，在Ot—XtYtZt坐標系中，Wt在齊次坐標中用矩陣形式表示為，

Wt1=[0，0，ωt，1]T

(4)

經(jīng)過坐標變換，可以推導(dǎo)出，

=ωt(-sinφccosβi-cosφccosβj+sinβk)

(5)

式中，ωt為從動件的轉(zhuǎn)動角速度.

對于rM，如圖4所示.

=bcosφci-bsinφcj+0k

(6)

故：

(7)

式中，

C1=-ωt{[-cosφcA1cos(θ+β)+cosφcA2sin(θ+β)+sinβsinφc(δ+L-h)]cos(-φt+α)+[sinβsinφccos(θ+β)A1-sinβsinφcsin(θ+β)A2+cosφc(δ+L-h)]sin(-φt+α)}

C2=-ωt{[-sinφcA1cos(θ+β)-sinφcA2sin(θ+β)+sinβcosφc(δ+L-h)]cos(-φt+α)-[-sinβcosφccos(θ+β)A1+sinβsinφcsin(θ+β)A2+sinφc(δ+L-h)]sin(-φt+α)}

C3=-ωtcosβ{cos(-φt+α)(δ+L-h)+sin(-φt+α)[cos(θ+β)A1-sin(θ+β)A2]}

至此，弧面凸輪機構(gòu)壓力角的通用表達式為，

(8)

由(8)式可見，弧面分度凸輪壓力角是從動件運動規(guī)律與弧面凸輪機構(gòu)幾何尺寸的復(fù)雜函數(shù)，故在機構(gòu)設(shè)計時可通過改進從動件運動規(guī)律或弧面凸輪幾何尺寸等方式來調(diào)整壓力角的大小.

3 模型驗證

為驗證弧面凸輪機構(gòu)壓力角數(shù)學(xué)模型的正確性，本研究通過數(shù)值模擬工具Mathematica對該模型進行了驗證.所取弧面分度凸輪機構(gòu)的機構(gòu)參數(shù)如下：r=12.05 mm，L=15 mm，b=70 mm，α=30 °，δ=31 mm，β=0 °，γ=0 °.滾子數(shù)z=6；在整個運動周期中，分度期τ=270 °，休止期φd=90 °；從動轉(zhuǎn)盤的運動規(guī)律為改進型正弦曲線運動關(guān)系，具體如公式(9)、(10)、(11)所示.

(9)

(10)

(11)

將上述參數(shù)代入計算模型后獲得的弧面凸輪機構(gòu)壓力角沿接觸線的分布情況如圖5所示(僅列出了受力面).數(shù)值計算結(jié)果驗證了本研究提出的弧面凸輪機構(gòu)壓力角數(shù)學(xué)模型的正確性.

圖5弧面分度凸輪受力面機構(gòu)壓力角沿接觸線的分布情況

4 結(jié) 論

本研究以包絡(luò)面理論為依據(jù)，運用齊次坐標的矩陣變換，建立了統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型的弧面分度凸輪輪廓曲面方程，并推導(dǎo)出了該機構(gòu)壓力角的通用表達式.推導(dǎo)過程所使用的方法幾何直觀性強，整個過程簡單明了，表達形式統(tǒng)一且便于理解，并且不需進行復(fù)雜的運動分析.弧面凸輪機構(gòu)壓力角的數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)一表達，有助于驗證弧面凸輪設(shè)計參數(shù)與運動規(guī)律的正確性.同時，也對弧面分度凸輪機構(gòu)的數(shù)字化設(shè)計與制造具有一定的實用價值，為開發(fā)相應(yīng)軟件提供了理論依據(jù).