利用安培力的沖量公式巧解難題

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

將二者聯立可得電荷量與磁通量變化量的關系式

當用“電磁感應筆”的筆尖在特制的書寫板上書寫時，電池正極、筆尖、書寫板、鱷魚鋏通過導線與電池負極形成了通斷的電流回路，PVC管中流過通斷變化的直線電流，PVC管周圍激發出環形變化的磁場，引起繞在磁環上線圈中的磁通量的變化，產生感應電動勢和感應電流，使套在PVC管上與線圈連接的LED不斷閃亮.

圖6 組裝完成的“電磁感應筆”

通過“電磁感應筆”還可將奧斯特的“電生磁”，與法拉第的“磁生電”有機地統一起來.實驗裝置如圖7所示.

上述實驗過程中還可引導學生進一步觀察思考以下內容，為后續學習奠定基礎：(1)“電磁感應筆”為何只有書寫過程中LED才有閃亮，不書寫時不論筆尖接觸的是絕緣層還是導通層，LED都不亮；(2)書寫時為何與線圈連接的正反向的LED都會閃亮；(3)將實驗中的電源直接連接LED，其亮度卻很低，而同樣的這組電池，在書寫的過程中引起線圈上LED的亮度卻大為增強，這說明線圈中產生的電的某些方面的性能比原有電池還強.從而有效激發學生的進一步思考，增強學生學習的主動性和積極性.

圖7 用“電磁感應筆”“磁生電”和“電生磁”

1 人民教育出版社.普通高中課程標準實驗教科書 物理·選修3-2(第2版) .北京:人民教育出版社,2010.2～5

2 熊小蘭，黃春如.模擬制作法拉第線圈.物理教師,2017(02):56～57

靈活應用安培力的沖量公式和動量定理解答有關問題，可化繁為簡，下面舉例分析.

【例1】如圖1所示，很長的光滑磁棒豎直固定在水平面上，在它的側面有均勻向外的輻射狀的磁場．磁棒套一個質量均勻的圓形線圈，質量為m，半徑為r，電阻為R，線圈所在磁場處的磁感應強度為B．讓線圈從磁棒上端由靜止釋放沿磁棒下落，經一段時間與水平面發生彈性碰撞并反彈，線圈反彈速度減小到零后又沿磁棒下落，這樣線圈會不斷地與水平面相碰下去，直到停留在水平面上.已知第1次碰后反彈上升的時間為t1，下落的時間為t2，重力加速度為g，不計線圈中電流產生磁場的影響.求：

(1)線圈第1次下落過程中的最大速度vm；

(2)第1次與水平面碰后上升到最高點的過程中通過線圈某一截面的電荷量q；

(3)第2次落地時的速度.

圖1 例1題圖

Blq+mgt1=mvm-0

解得

mg(t1+t2)=mv-m(-vm)

可得

v=g(t1+t2)-vm

點評:解題關鍵是利用微元累加法來求圓形線圈受到安培力的沖量，而且用到了兩個安培力的沖量公式.

【例2】(2014年安徽二模)如圖2所示，在光滑絕緣水平桌面上，有一直徑為L的圓形線圈，空間有豎直向下的有界勻強磁場，寬度為2L，線圈以垂直于磁場邊界的初速度v0進入磁場且最終離開.則線圈在進入磁場和離開磁場的過程中，下列說法正確的是( )

A.線圈中產生的感應電流方向相同

B.線圈速度的變化量相同

C.線圈受到的安培力方向相反

D.線圈中產生的熱量相等

圖2 例2題圖

解析：由于線圈進入磁場時磁通量增加，離開磁場時磁通量減少，因此感應電流方向相反，選項A錯誤.線圈先后受到的安培力始終為阻力，則方向相同，選項C錯誤.

線圈進入磁場過程中，速度較大，電流較大，受到的安培力較大；而線圈離開磁場過程中，速度較小，電流較小，受到的安培力較小.但發生的位移相同，因此兩個過程中克服安培力做的功不同，則產生的熱量不相等.選項D錯誤.只有選項B正確.

假設線圈為矩形線圈，左右兩邊長度為L，由動量定理有

BLq=mv0-mv1

對于線圈穿出磁場過程，由動量定理有

BLq=mv1-mv2

可知兩個過程中的動量變化量相同，因此速度變化量相同.

對于圓形線圈，切割磁感線導體的等效長度不斷變化，則安培力的沖量Bql是變化的，但在兩個過程中的l都是從零增大到L，再減小到零，而Bql中不含有其他變量，只有l一個變量，最小值是零，最大值是L，那么l的平均值不是對位移平均，也不是對時間平均，而是對自己各值取平均，由于線圈在進入磁場和離開磁場的兩個過程中，切割磁感線導體的長度變化是一致的，是相同的，則平均值是相同的，因此在兩個過程中安培力的沖量相同，所以動量的變化量相同，則速度的變化量相同.故選項B正確.

點評：解題關鍵是對圓形線圈進入磁場和離開磁場兩個過程中受到安培力沖量大小的比較，方法很巧妙.

【例3】如圖3所示，一根電阻R=6Ω的導線彎成一根圓形線圈，圓半徑r=1m，線圈質量m=0.1kg，此線圈放在絕緣光滑的水平面上.在y軸右側有垂直于線圈平面的勻強磁場，磁感應強度大小B=0.5T.若線圈以初速度v0=10m/s沿x軸方向滑進磁場，當線圈恰有一半進入磁場時，求此時線圈的瞬時速度以及圓環內產生的焦耳熱.

圖3 例3題圖

進行積分可得全過程中安培力的沖量

由于l2=4x(2r-x)=-4x2+8rx，則

由動量定理有I=mv0-mv，可得線圈有一半進入磁場時的速度為

由能量守恒定律可知，焦耳熱為

圖4 線圈進入磁場x時的示意圖

點評:解題關鍵是對圓形線圈利用微積分來求安培力的沖量，即先用微元法表示安培力的沖量，然后再取積分.由于該題在常規解法中涉及到微積分運算，因此常見一些改編的錯題，即在題中給出電荷量或焦耳熱的數值，以避免微積分運算，但卻容易導致數據不自洽，這是值得注意的.可作出圖像如圖5所示，利用拋物線與橫軸之間面積的結論來計算x=r時對應拋物線與橫軸之間的面積.

圖5 l2-x圖像

綜上可見，對于某些有關圓形線圈穿越磁場而引發電磁感應的疑難問題，利用安培力的沖量公式和動量定理解答，不僅拓展了思路，而且降低了難度.但在分析安培力的沖量時，要注意圓形線圈在勻強磁場中的等效長度是變化的.