運(yùn)用自由落體頻閃模型驗證動能定理

何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所 甘肅 蘭州 730070)

1 引言

圖1 自由落體頻閃模型

驗證動能定理是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理2的基本內(nèi)容[1]，現(xiàn)行教科書提供的實驗方案(氣墊導(dǎo)軌、滑塊、光電計時器、鉤碼，恒力做功)[1]既有實驗操作方法的要求[如調(diào)節(jié)導(dǎo)軌水平，滑塊質(zhì)量遠(yuǎn)大于鉤碼質(zhì)量(多大算是遠(yuǎn)大于，顯得朦朧)，多次測量滑塊通過光電門的速度]，又有數(shù)據(jù)處理方法的要求(如逐一法、圖像法，但具體怎樣、誰更合理未明確)．然而，可否規(guī)避實驗器材、實驗操作而直接運(yùn)用現(xiàn)行教科書中現(xiàn)成的自由落體頻閃模型(圖1)[2]，側(cè)重實驗數(shù)據(jù)處理方法，達(dá)到驗證動能定理的實驗?zāi)康模烤痛诉M(jìn)行研究，以期推證運(yùn)用自由落體頻閃模型驗證動能定理的方法，拓展現(xiàn)行教科書的相關(guān)方法，奠定教學(xué)設(shè)計的開放性物理基礎(chǔ)．

2 方法推證

自由落體頻閃模型(圖1)記錄了小球自由落體運(yùn)動的時空信息，即相等時間間隔的空間位置；提供了直接驗證動能定理的實驗數(shù)據(jù)信息．小球自由落體運(yùn)動的頻閃點n和位移hn(頻閃周期T)如圖2所示，則有

Wn=mghn

(1)

(2)

自由落體運(yùn)動(n-1)T到(n+1)T時段中點時刻nT的瞬時速度等于該時段的平均速度，則有

(3)

式中n=1,2,3,…，且t=0即n=0時，h0=0，v0=0[3]；由測得的hn和式(1)～(3)可確定重力對小球做的功Wn和小球?qū)?yīng)的動能Ekn，從而驗證功Wn與動能變化Ekn的關(guān)系．

圖2 頻閃點n和位移hn

依據(jù)數(shù)據(jù)處理方法的特點，可有逐點法和整體法(即圖像法)2種不同的方法．

2.1 逐點法

2.1.1 基本逐點法

依據(jù)式(1)確定的Wn和式(2)、(3)確定的Ekn是否相等，可驗證動能定理；為了簡化，Wn,Ekn的單位均取“m”(這樣就無需測定小球的質(zhì)量)．

2.1.2 變形逐點法

自由落體運(yùn)動任一位置n，由動能定理有

Wn=Ekn

(4)

由式(1)～(4)，得

(5)

Hn=(hn+1-hn-1)2

(6)

式(5)表明：Hn與hn的比值為恒量(T,g恒量)；于是，驗證動能定理的問題轉(zhuǎn)化為驗證Hn與hn的比值是否為恒量的問題．由測得的hn和式(6)確定的Hn，由式(5)可驗證動能定理．

2.2 整體法

整體法即圖像法，圖像法是物理實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法，運(yùn)用之一是驗證理論表達(dá)式[4，5]；據(jù)此運(yùn)用圖像法處理自由落體頻閃模型數(shù)據(jù)驗證動能定理．

2.2.1W-Ek圖像法

由式(4)知：Wn與Ekn成正比函數(shù)關(guān)系；于是，驗證動能定理的問題轉(zhuǎn)化為驗證Wn與Ekn是否成正比函數(shù)關(guān)系的問題．Wn由式(1)、Ekn由式(2)、(3)確定時均取單位“m”，作W-Ek圖像可驗證動能定理．

2.2.2v2-h圖像法

由式(1)、(2)、(4)，得

(7)

2.2.3H-h圖像法

由式(5)得

Hn=8gT2hn

(8)

式(8)表明：Hn與hn成正比函數(shù)關(guān)系(g，T恒量)；于是，驗證動能定理的問題轉(zhuǎn)化為驗證Hn與hn是否成正比函數(shù)關(guān)系的問題．由式(6)確定的Hn，作H-h圖像可驗證動能定理．

3 運(yùn)用結(jié)果

表1 自由落體頻閃模型的位移

3.1 基本逐點法結(jié)果

由式(1)～(3)和表1得表2(Wn,Ekn單位“m·m2/s2”，g上海=9.794 m/s2，即認(rèn)為頻閃模型拍攝地是上海；同理，下文均取g上海；實驗原點為第1組數(shù)據(jù))．

表2 基本逐點法的結(jié)果

表2表明：Ekn略小于Wn(合理，因空氣阻力做功)，Ekn與Wn近似相等(實驗原點外，Ekn與Wn的相對偏差依次為2.7%,0.7%,2.5%,2.4%,1.2%)；從而動能定理得以驗證．

3.2 變形逐點法結(jié)果

由式(6)和表1得表3．

表3 變形逐點法的結(jié)果

3.3 W-Ek圖像法結(jié)果

由表2數(shù)據(jù)、Excel程序[6]得W-Ek圖像(表達(dá)式W=1.018Ek)，如圖3所示．

圖3 W-Ek圖像

W-Ek圖像表明：Wn與Ekn呈正比函數(shù)關(guān)系(圖像斜率測定值1.018與理論值1.000的相對偏差僅為1.7%；合理，因空氣阻力做功)；從而動能定理得以驗證．

3.4 v2-h圖像法結(jié)果

由式(3)和表1得表4(實驗原點為第1組數(shù)據(jù))．

表4 頻閃模型的hn和

由表4數(shù)據(jù)、Excel程序[6]得v2-h圖像(表達(dá)式v2=0.192 4h)，如圖4所示．

圖4 v2-h圖像

3.5 H-h圖像法結(jié)果

由式(6)和表1得表5(實驗原點為第1組數(shù)據(jù))．

表5 頻閃模型的hn和Hn

由表5數(shù)據(jù)、Excel程序[6]得Hn-hn圖像(表達(dá)式H=0.085 5h)，如圖5所示．

H-h圖像表明：Hn與hn成正比函數(shù)關(guān)系(圖像斜率測定值8.55 cm與標(biāo)準(zhǔn)值8gT2=8.70 cm的相對偏差僅為1.7%；合理，因空氣阻力做功)；從而動能定理得以驗證．

圖5 H-h圖像

4 討論

4.1 方法特點

直接運(yùn)用自由落體頻閃模型驗證動能定理，雖未涉及實驗器材、實驗操作(涉及實驗數(shù)據(jù)測量)，但強(qiáng)化了實驗數(shù)據(jù)處理方法(涉及知識：功、動能、動能定理)，突顯了以物理實驗為基礎(chǔ)的、以物理思維為主導(dǎo)的物理科學(xué)探究；運(yùn)用已知認(rèn)識未知(自由落體頻閃模型是現(xiàn)行教科書物理1的內(nèi)容[2]，驗證動能定理是現(xiàn)行教科書物理2的內(nèi)容[1])，符合認(rèn)知、建構(gòu)規(guī)律，不僅益于深化已知，而且適合探究未知．因此，直接運(yùn)用自由落體頻閃模型驗證動能定理可作為現(xiàn)行教科書相關(guān)方法的拓展，或作為實驗條件制約(如實驗器材短缺、不匹配)的彌補(bǔ)．

4.2 誰更合理

5 教學(xué)建議

基于上述特點，有以下直接運(yùn)用自由落體頻閃模型驗證動能定理的教學(xué)建議．

(1)若作為現(xiàn)行教科書相關(guān)方法的拓展，可先完成教科書的內(nèi)容并達(dá)成驗證動能定理的教學(xué)目標(biāo)(前提是相應(yīng)實驗結(jié)果可支撐實驗?zāi)康?，再做如上的拓展，強(qiáng)化實驗數(shù)據(jù)處理驗證動能定理方法的提升.

(2)若作為實驗條件制約的彌補(bǔ)，可規(guī)避教科書相應(yīng)的實驗操作內(nèi)容(待條件具備，再進(jìn)行提升)，直接運(yùn)用自由落體頻閃模型驗證動能定理，側(cè)重實驗數(shù)據(jù)處理驗證動能定理方法的培養(yǎng).

(3)教學(xué)中的具體驗證方法，可依據(jù)師生水平、培養(yǎng)目標(biāo)靈活選擇，可先運(yùn)用逐點法，再運(yùn)用圖像法；也可引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生逐步探究驗證方法，雖不求涉及上述5種具體驗證方法，但應(yīng)有基本逐點法和W-Ek圖像法，切實培養(yǎng)學(xué)生實驗數(shù)據(jù)處理驗證動能定理的方法．