n個一維同頻簡諧振動合成的簡易推導

經本合

(重慶市巴南區教師進修學校 重慶 401320)

胡安良

(重慶市實驗中學校 重慶 401320)

在力學、聲學、電磁學和光學中都會遇到一維同頻簡諧振動的合成.一般多用旋轉矢量法處理兩個一維同頻簡諧振動的合成，得到合振動的振幅與初相位公式[1].對于n個一維同頻簡諧振動的合成，文獻[2]認為“旋轉矢量合成法雖然原則上可行，但計算過程較為繁復，甚至不可行”，故另辟蹊徑用待定參數法研究.事實上，文獻[2]的求解過程太繁瑣冗長，改用傳統的旋轉矢量法，可以簡捷地得到答案，推導篇幅不及原方法的四分之一.

x=Acos (ωt+φ)

圖1 情境圖

由于“合矢量的分量等于各矢量的分量的代數和”，不難求出合振幅

(1)

注意到

最后一式因為

所以AiAjcos (φi-φj)對于i,j下標具有交換對稱性，故合振幅也可寫為

(2)

(3)

不難發現，上面的式(1)～(3)與文獻[2]的結果是一致的，但方法卻簡單直觀得多.