基于金屬切削加工中產生強迫振動現象的數學應用與研究

董冠文，李自勇*

（甘肅機電職業技術學院，甘肅 天水 741001）

強迫振動是在外界周期性干擾力持續作用下，振動系統被迫產生的振動。它是靠外界振動源補充能量來維持振動的。金屬切削加工中產生的強迫振動不會迅速衰減，而是一種危害較大的振動。不論是金屬的精密加工還是一般切削加工，強迫振動往往是影響加工質量及生產效率的關鍵問題。據不完全統計，在金屬切削加工過程中，強迫振動要占到30%[1],是不可避免的。因此，工程技術人員很有必要學習有關數學知識來研究金屬在切削加工過程中產生強迫振動機理，掌握強迫振動的發生和變化規律，探討如何提高工藝系統的抗振性和積累消除振動的經驗措施，使金屬工件的切削加工過程，既能保證較高的生產率，又可以保證金屬工件的加工精度和表面質量，這對金屬切削加工的相關研究和實踐具有現實意義。

1 強迫振動數學模型的建立[1]

圖1 強迫振動的模型圖

如圖1（a）所示，一臺電動機安裝在一簡支梁的中部，以ω的角速度旋轉時，由于電動轉子不平衡而產生離心力P0，則P0沿著X方向的分力，為該系統外界周期性的干擾力。在這一干擾力的作用下，簡支梁將做不衰減的強迫振動。為了便于研究，我們將上述實際的振動系統簡化為圖1.（b）所示的單自由度欠阻尼強迫振動系統的振動模型。在此系統上除了彈性恢復力kx及阻尼力作用外，還始終活躍著一個簡諧激振力。

由牛頓運動定律，建立該系統的微分方程為：

則（1）可以改寫為以下形式

這是一個非齊次二階常系數線性微分方程式，（1-2）對應的齊次方程為

（3）是一個二階常系數線性齊次方程，其特征方程為

將上式改寫成如下形式：

記為

把上述第二個方程的兩端除以第一個方程的兩端，得

因為

根據非齊次二階常系數線性微分方程式（2）右端，它有形如

為了求出E,F,將x1代入（2）比較系數即可，為此先來計算

將上式各式代入（2），比較系數可得方程組

因為

故有

因而，所求特解為

上述表達式可以寫成如下形式

記

表達式

稱為相位差。（2）的通解為

從（7）可以看到，金屬切削產生強迫振動由兩部分組成，第一部分是欠阻尼的自由振動，它是系統本身的固有振動，它隨著時間的增長而衰減，經過一段時間，振動消失，第二部分是外力引起的強迫振動項，它的振幅不隨著時間的增長而衰減。

2 強迫振動項的研究

金屬切削產生強迫振動時，由于經過一段時間，衰減振動很快就衰減掉了，而強迫振動一直持續下去，形成振動的穩定過程。以此我們來分析這一項。

記

為靜變位

為頻率比

為阻尼比

有

引入放大系數R則

圖2 響應曲線圖

圖3 響應曲線圖右側局部放大圖

圖4 響應曲線圖左側局部放大圖

3 共振的研究

金屬切削產生強迫振動時，最值得研究的問題是什么情況下，放大系數達到最大值，此時振幅最大。為此，對（8）求導令：

圖5 共振下的響應曲線圖

4 結語

本文應用相關數學知識詳細分析研究了金屬切削加工中產生強迫振動現象，工程技術人員在切削加工金屬工件時，應避開共振區，避免造成安全事故。