Moser-Trudinger不等式及其極值函數的存在性

李嘉禹，楊云雁，朱曉寶

(1.中國科學技術大學 數學科學學院，合肥 230026；2.中國科學院 數學與系統科學研究院，北京 100080; 3.中國人民大學 數學系，北京 100872)

Moser-Trudinger不等式作為臨界情形的Sobolev嵌入定理，是由著名數學家Trudinger[1]在1967年首先得到的.設Ω是n中的光滑有界區域，是在范數

(1)

稱不等式

?0<α≤αn

(2)

為Moser-Trudinger不等式.

Carleson等[3]發現了一個令人驚訝的事實：在Ω是單位球的時候，存在函數能達到(2)式中的上確界，即它的極值函數存在，而這個事實對次臨界的Sobolev不等式是不對的.隨后，Flucher[4]和Lin[5]分別證明了對2維和n維的一般區域，(2)式的極值函數也存在.

論文旨在介紹Moser-Trudinger不等式及其極值函數存在性的相關進展.第一部分，介紹緊黎曼曲面上的Moser-Trudinger不等式及其應用；第二部分，介紹一般維黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式；第三部分，介紹一類改進的Moser-Trudinger不等式；最后，介紹帶奇異位勢的Moser-Trudinger不等式.

1 緊黎曼曲面上的Moser-Trudinger不等式及其應用

由不等式(1)和緊黎曼曲面上的單位分解，可得定理1.

定理1[1]設(Σ,ds2)是緊黎曼曲面，則存在c>0，使得不等式

成立.

由Cauchy不等式，有定理2.

其中：CΣ是只與(Σ,ds2)有關的正的常數.

1.1 預定高斯曲率問題

(3)

對(3)式兩邊在Σ上積分，可得

(4)

因而，可將對方程(3)的求解分為χ(Σ)<0,χ(Σ)=0和χ(Σ)>0這3種情形.下面介紹變分方法和Moser-Trudinger不等式在這3種情形中的應用.Berger[6]通過尋找泛函

(5)

(6)

由定理2知，泛函J(u)是弱下半連續的.為了清楚泛函J(u)是否滿足強制性條件，Moser計算了定理1中的最佳常數，證明了定理5.

定理5[2-8]在標準球面(S2,g0)上，成立

和

作為定理5的直接推論，有定理6.

其中：CS2是只與(S2,g0)有關的正的常數.

由定理6(i)，泛函J(u)有下界.由定理6……