能量最優與燃料最優Lambert交會問題

徐利民， 張濤， 陶佳偉

(清華大學自動化系， 北京 100084)

Lambert問題是航天工程中雙脈沖軌道轉移的基本問題[1-3]，在航天器交會領域有廣泛的應用，近年來仍然屬于熱點研究范疇[4-7]。

Lambert飛行時間定理指出，對同一個平方反比中心引力場的橢圓軌道轉移問題，給定轉移前后的空間位置P1和P2，則轉移時間t2-t1僅依賴于軌道半長軸aT，兩點離引力中心F的矢徑長度之和r1+r2以及連接兩點的弦長cT。如果這3個參數aT、r1+r2、cT給定，則轉移時間t2-t1是確定的，單圈Lambert轉移情況下通常是2個解(最小能量軌道時是一個解)，與轉移橢圓的形狀(偏心率eT)無關[8]。基于飛行時間定理，基本Lambert問題是指給定軌道上兩點的位置矢量及飛行時間，求連接兩點的軌道參數。基本Lambert問題是一個典型的雙脈沖變軌問題，其本質是求解微分方程兩點邊值問題[9]。

航天工程中通常需要根據優化指標確定轉移軌道的變軌優化問題。常用的優化指標是時間最優或燃料最優。基本Lambert問題的結論可用于直接求解時間最優雙脈沖變軌問題[10]。很多任務中需要針對燃料消耗或者能量變化提出優化目標要求，并不限制轉移時間。此時最優轉移軌道是滿足兩點約束的不同半通徑對應的一系列轉移軌道中的一個最優解。這個問題稱為能量最優和燃料最優Lambert問題。

文獻[11]對目前飛行器軌跡優化數值方法進行總結整理和歸納。文獻[12]對能量最優Lambert進行詳細研究并給出該問題的解析閉式解答。文獻[13]用優化方法證明了Lambert變軌的最小能量軌道問題。文獻[14]研究了共面橢圓軌道間轉移的燃料最優Lambert問題。文獻[15]研究了最優雙沖量交會問題的一般數學模型和數值求解方法。文獻[16]綜述了當前最優沖量交會的研究進展。文獻[17]給出一種最優Lambert轉移時間燃料多目標混合模型并采用混合遺傳算法求解。

在對上述文獻深入研究的基礎上，本文提出一種基于矢量形式的求解能量最優和燃料最優Lambert問題的總體框架，把文獻[12,14]的求解過程統一在本文提出的數學框架中，并給出了能量最優和燃料最優Lambert問題的解析計算方法。最后分析和對比了能量最優和燃料最優Lambert問題求解過程的多項式方程相應的性質和特點。

1 能量最優與燃料最優Lambert問題的定義

能量最優和燃料最優Lambert問題具體描述如下(文中涉及的位置和速度向量都是三維列向量)。

如圖1所示，設航天器變軌前的位置為r1和速度v1,變軌后的位置r2和速度v2，求解航天器在r1、r2處的速度w1、w2，計算航天器2次點火的速度增量Δv1和Δv2：

圖1 位置和速度向量定義Fig.1 Definition of location and velocity vectors

(1)

當優化目標函數為

(2)

此類問題稱為ΔV2Lambert問題，或能量最優Lambert問題。

當優化目標函數為

min ΔVtot=|Δv1|+|Δv2|

(3)

此類問題稱為ΔVLambert問題，或燃料最優Lambert問題。

(4)

式(4)意味著ΔV2最優軌道的燃料消耗大于等于ΔV最優軌道的燃料消耗，上限為不多于ΔVLambert問題燃料消耗的41.5%。實際中通常二者燃料消耗差值不大于17%。圓軌道霍曼轉移情況下二者相等。

2 能量最優和燃料最優Lambert問題的計算

變軌起始點和終止點的速度w1和w2滿足[13]：

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中：μ為引力常數；Δθ為r1、r2處的真近點角差值；p為轉移軌道半通徑。

2.1 ΔV2 Lambert問題的求解

對于ΔV2Lambert問題，求轉移能量最小即求式(10)的最小值：

(w1-v1)T(w1-v1)+(w2-v2)T(w2-v2)

(10)

式(10)取最小值需要滿足條件：

(11)

(12)

求解式(11)和式(12)即可得到滿足條件的p值，從而確定最優轉移軌道和2次沖量的值。

2.2 ΔV Lambert問題的求解

對于ΔVLambert問題，求性能函數最小即求解式(13)的最小值：

ΔVtot=|Δv1|+|Δv2|=|w1-v1|+|v2-w2|

(13)

(14)

(15)

式中：

(16)

(17)

2.3 速度導數

ΔV和ΔV2Lambert問題的求解中都涉及到變軌起始點和終止點的速度w1和w2相對于半通徑p的一階和二階導數。為計算方便，令

(18)

(19)

從而得

(20)

(21)

(22)

(23)

2.4 求解導數方程的相關結論

結論1ΔV2Lambert問題(10)歸結為一個四次多項式方程求解問題。

式(10)展開為

(24)

F(h)=h4+c3h3+c1h+c0=0

(25)

結論2ΔVLambert問題(13)歸結為一個八次多項式方程求解問題。

式(14)可寫為

(26)

將式(21)、式(22)代入式(26)會得到一個形如式(27)的多項式方程：

(27)

式中：xi=h-i，yi=h2-i，l1i、l2i、p1i、p2i為計算出的多項式系數。式(27)形式上為一個12階多項式方程，但實際上式(27)中hi項中i=2,1,-9,-10的系數為零，為一個八次多項式方程：

(28)

其中：zi=h-i，fi取值為

2(a2d+bc2)

4bd(a-c)

綜上所述，以min ΔVtot為目標函數的ΔVLambert問題涉及到八次多項式求根問題，目前尚無閉式解析解，數值解往往受到迭代算法的速度影響。而求解ΔV2Lambert問題涉及缺項的四次多項式求根問題，存在閉式解求根公式。

3 仿真算例

仿真算例采用文獻[12]的ALSET 1和ARIANE 44L衛星的軌道參數，列于表1。

設定變軌起始點和目標點位置及速度矢量如表2和表3所示。

仿真計算結果見表4～表6。

對于ΔVLambert問題的最小速度增量值，若利用ΔV2Lambert問題求解得到的p值(設q=11 285.930)計算，相比ΔVLambert問題求解得到的p值(設m=11 360.100)，有ΔVtot(q)-ΔVtot(m)=0.094 669 588 639 047，ΔVtot(q)高出ΔVtot(m)4.453 9%。

ΔV和ΔV2目標函數值隨p變化情況如圖2所示(對數坐標)，局部細節情況見圖3。極值點和表4～表6計算結果一致。

表1 ALSET 1和ARIANE 44L衛星的軌道參數(NORAD兩行軌道根數)[12]

表2 起始點和目標點位置

表3 起始點和目標點速度

表4 ΔV Lambert問題起止點速度增量

表5 ΔV2 Lambert問題起止點速度增量

表6 轉移軌道參數

圖2 ΔVtot和目標函數值隨p變化情況Fig.2 Variation of ΔVtot and function with p

圖3 ΔVtot和目標函數值隨p變化情況(極點附近)Fig.3 Variation of ΔVtot and function with p (near peak point)

4 結 論

1) 本文提出一種基于矢量形式的求解能量最優和燃料最優Lambert問題的總體框架，統一了能量最優和燃料最優Lambert問題的分析方法和相關結論，避免了大量三角函數運算和坐標變換等較繁瑣的處理方式。

2) 對燃料最優Lambert問題的分析突破了相關研究中軌道共面條件的限制。本文的推導過程相比以往的研究具有更加簡潔的表示形式。

3) 仿真算例展示了具體方法的求解結果，并驗證了燃料最優比能量最優的最優速度增量多不超過17%的事實。