平面控制網中誤差曲線及相對誤差曲線的繪制及應用

馬 慧

(山東科技大學，山東 泰安 271000)

在測量中，控制網的精度評定是一個重要的內容。為了評定其中待定點的精度，常采用點位誤差橢圓，但是，點位誤差橢圓的中心與橢圓曲線上點的連線不是中誤差的大小，點位誤差曲線才真正反映實際的中誤差大小，所以本文中給出了衡量待定點精度的誤差曲線以及待定點之間的相對誤差曲線。同時，這些曲線是借助于AutoCAD來進行繪制的。

1 理論部分

1.1 誤差橢圓的要素

1.1.1誤差橢圓的要素[1]

要繪制一個誤差橢圓，需要知道誤差橢圓的中心坐標、位差極大值E和位差極小值F、位差極大值方向φE，其中E,F和φE稱為誤差橢圓的三參數。

1.1.2誤差橢圓的參數計算公式[2]

QEE=(QXX+QYY+K)/2，QFF=(QXX+QYY-K)/2,

設兩個待定點為Pi和Pk，這兩點的相對位置可通過坐標差來表示，即：

Δxik=xk-xi，Δyik=yk-yi

(1)

根據協因數傳播律則得：

QΔxΔx=Qxkxk+Qxixi-2Qxkxi

(2)

QΔyΔy=Qykyk+Qyiyi-2Qykyi

(3)

QΔxΔy=Qxkyk-Qxkyi-Qxiyk+Qxiyi

(4)

得到兩點間相對誤差橢圓的三個參數公式：

(5)

(6)

(7)

1.2 誤差橢圓與誤差曲線的關系

基于點位誤差橢圓，依據幾何關系，可以繪制出點位誤差曲線[3，4]，如圖1所示。設誤差橢圓上的一點為P點，過P點做垂直于方向Ψ的切線，則垂足D點即為誤差曲線上的一點，OD的長度即為該方向的中誤差。

1.3 誤差曲線的繪制方法

先確定某直線與橢圓相切，不關心該切線與橢圓的交點(x0，y0)是多少，過橢圓中心作與該切線垂直的方向線，由此確定垂足，該垂足即為誤差曲線上的點；依此作該橢圓的若干切線，從而確定若干垂足。這一過程可由AutoCAD的“切點”“垂足”等相關命令來實現。

2 實際算例

2.1 算例[6]

如圖2所示，P1及P2是待定點，且P1,P2兩點間為一山頭，某條鐵路專用線在此經過，要在兩點間開掘隧道，要求在貫通方向和貫通重要方向上的誤差不超過±0.5 m和±0.25 m。根據實地勘察，在地形圖上設計了專用貫通測量控制網，已知點A,B,C及D，同精度觀測了9條邊長，設P1,P2點坐標為未知數[x1y1x2y2]T，經間接平差算得參數的協因數陣為：

2.2 算例解算

2.2.1各分量及其間的協因數

Qx1x1=0.344 9，Qx1y1=-0.000 9，Qx1x2=0.059 7，

Qx1y2=-0.080 7，Qy1y1=0.573 9，Qx2y1=-0.079 8，

Qy1y2=0.107 4，Qx2x2=0.345 9，Qx2y2=0.022 1，Qy2y2=0.580 4。

2.2.2計算P1,P2點的誤差橢圓三要素

KR-RCA是在上述算法的基礎上加入正則化和核化，本文采用E Meyers[18]提出的KR-RCA，核函數采用線性核函數，具體算法本文不再贅述。

P1點：φE1=90.225 175 282°或270.225 175 282°，E1=0.402 dm，F1=0.311 dm；

P2點：φE2=84.662 885 86°或264.662 885 86°，E2=0.401 dm，F2=0.314 dm。

2.2.3計算P1,P2兩點間相對誤差橢圓三要素

φE=67.684 064 59°或247.684 064 59°；E=0.534 dm；F=0.374 dm。

2.2.4判斷

ψP1P2+90°=122.315 932 41°。

所以，在P1,P2連線的垂直方向的位差:

在P1,P2連線的方向的位差:

可知，在貫通方向滿足要求，在貫通重要方向不滿足要求，因此需要對網形進行改正。

2.2.5繪制誤差曲線和相對誤差曲線

先利用誤差橢圓的三要素，繪制出P1,P2點的誤差橢圓和它們的相對誤差橢圓[7]，然后，依據誤差橢圓與誤差曲線之間的關系，從而繪制兩點的誤差曲線[8]，如圖3所示。

3 結語

通過以上的計算及誤差曲線的繪制過程，可以看出，誤差曲線的繪制也是相對簡單的，而且容易實現，因此，在進行精度評定時，可以根據實際情況給出待定點的誤差曲線。