考慮空氣阻力討論上拋問題

黃玉梅

(綿陽師范學院數理學院，四川 綿陽 621000)

在高中課堂上講到勻變速直線運動時,上拋運動是經常被研究的一類情況．在沒有空氣阻力的情況下,上拋物體(例如乒乓球、網球等)上升到最高點所用的時間,與從最高點落回原來位置所用的時間是一樣的．有些學生就此提出了一個疑問,如果考慮空氣阻力的影響,哪一個過程所用的時間會更長呢?

同學甲認為:下落所需的時間長,因為上升過程中,空氣阻力向下,與重力方向一致,因此,物體做減速運動的加速度大于重力加速度,速度將會在很短的時間內降到0,從而升至最高點;而下落時空氣阻力和重力方向相反,加速度小于重力加速度,速度增加緩慢,因此下落所需的時間會更長．同學乙認為:上升所需的時間長,因為下落時,雖然空氣阻力與重力方向相反,導致加速度變小,但由于克服空氣阻力損失了能量,因此落回原來位置時的速度也比原來的速度要小,因此下落所需的時間應該會比較短;同學丙認為:應該下落所需的時間長,正因為回到原來位置時的速度變得比原來小,所以整個過程的平均速度要比上升的平均速度小,所以需要的時間會更長．

1 假設物體所受空氣阻力是恒力

一般而言,空氣阻力和物體的迎風面積、運動速度的大小有關,為了使討論簡化,易于理解,在這里先假設一個極端情形,即令空氣阻力只與物體的迎風面積相關,和運動速度的關聯忽略不計．這樣的話,在上升和下落中,物體所受到的空氣阻力大小不變,只是方向不同,不妨設空氣阻力的大小為f阻．因為空氣阻力的方向和物體運動的方向相反,因此上升過程空氣阻力和重力同向,下落過程空氣阻力與重力反向．

上升過程:

下落過程:

容易看出,由于a′

2 假設物體所受空氣阻力大小和速度大小成正比

這里討論的上拋運動初速度一般較小,可以假設空氣阻力受運動速度的影響較小,其大小和速度的大小成正比關系,方向和速度方向相反,即f阻=-kv,k是比例系數．

當上升到最大高度時,v=0,由上式可求得

從而上升的最大高度為

因為高度的表達式比較復雜,因此如果計算下降到原來位置的時間將會變得比較復雜,在這里可以改成利用物體下落t上時間后能否下落到原來的位置,即下落的距離H′與上升過程的高度H進行比較,如果H′>H,則表示落到原來位置所需的時間小于t上,反之則是下落到原來位置所需的時間更長．

可以求出下落的距離為

可以看出,當mg?kv0時,3階小量也可以忽略不計,則

這樣就回到了不受空氣阻力的情形,所以上述的公式推導在空氣阻力趨于零時也是成立的．

同時將上述兩個展開式代入到H′的表達式還可以得到

同樣,當mg?kv0時,忽略3階小量,則

下落過程也可以回到不考慮空氣阻力的情形．

比較近似表達式,可見H′

通過上述的討論可知,空氣阻力為恒力或者空氣阻力與速度大小成正比的情況中,上升到最大高度所需的時間都小于從最大高度下落到初始位置的時間．當然,在速度較大時,空氣阻力將可能和速度大小的平方甚至更高次方成正比,相關的討論這里就不再贅述了．