中心對稱型磁場中感生電場的探討

元 明

(遼寧省撫順市新賓滿族自治縣高級中學,遼寧 撫順 113200)

本文從一道常見的感生電場問題切入,并加以拓展,以幫助學生們準確地認識感生電場的本質．

1 問題切入

圖1

例題.如圖1所示內壁光滑、水平放置的玻璃圓環內,有一直徑略小于環口徑的帶正電的小球,以速率v0沿逆時針方向勻速轉動.若在此空間突然加上方向豎直向上、磁感應強度B隨時間成正比增加的變化磁場,設運動過程中小球帶電荷量不變,那么

(A) 小球對玻璃環的壓力一定不斷增大.

(B) 小球受到的磁場力一定不斷增大.

(C) 小球先沿逆時針方向減速運動,過一段時間后沿順時針方向加速運動.

(D) 磁場力對小球一直不做功.

本題正確答案(C)、(D)．

2 問題解析

如果磁場是中心對稱型磁場,它的中心位置是否與圓環中心重合?筆者認為,有以下3種可能性(俯視如圖2所示)．

圖2

(1) 如果磁場中心O′在圓環外,如圖2(甲)所示,由楞次定律可判斷渦旋電場E的方向為順時針,則小球在圓環右側逆時針運動時,所受電場力F電與速度方向相反，小球減速； 同理，小球在圓環左側逆時針加速運動.

在圓環上取一小段圓弧dl,圓弧dl與磁場中心O′所圍的面積為dS,兩端電勢差為dU,磁場在該處產生的場強為E(R為圓環半徑,r為圓弧dl與磁場中心O′的距離)

(1)

(2)

其中負號表示E的方向沿順時針.

由式(1),可判斷小球逆時針運動時,在圓環右側電場力做負功,左側電場力做正功,但電場力總功是負功．后順時針運動時,在圓環右側電場力做正功,左側電場力做負功,但電場力總功是正功．

(2) 如果磁場中心O′在圓環內,但不與圓環中心O重合,如圖2(乙)所示,同理,小球先逆時針做變減速圓周運動,后順時針做變加速圓周運動．

(3) 如果磁場中心O′恰與圓環中心O重合,如圖2(丙)所示,則小球先逆時針做勻減速圓周運動,后順時針做勻加速圓周運動．

由于高中階段的磁場默認為中心對稱型磁場,且其中心與圓環幾何中心重合[即情形(3)],故選(C)．

因為磁場力不做功,故選(D)．

選項(A),玻璃環對小球的支持力FN有兩個分力:豎直分力F豎直和水平分力F水平．其中F豎直=mg,水平分力F水平與磁場力F=qvB的合力提供向心力．

情形(1)、(2)比較復雜,就不做詳細分析了．下面只討論情形(3)磁場中心O′恰與圓環中心O重合這種情況:小球先逆時針減速運動,由左手定則判定磁場力沿半徑向外，

圖3

3 問題拓展

圖4

思考題.如圖4所示內壁光滑、水平放置的玻璃圓環內,有一直徑略小于環口徑的帶正電的小球,以速率v0沿逆時針方向勻速轉動.若僅在圓環區域內突然加上方向豎直向上、磁感應強度B隨時間均勻增加的變化磁場,設運動過程中小球帶電荷量不變,那么

(A) 小球對玻璃環的壓力一定先減小后增大.

(B) 小球受到的磁場力一定先減小后增大.

(C) 小球先沿逆時針方向減速運動,過一段時間后沿順時針方向加速運動.

(D) 磁場力對小球一直不做功.

解析:改進后正確選項(A)、(C)、(D)．改編后此磁場是中心對稱型磁場,且磁場中心與圓環中心重合,(C)、(D)選項與原題情形(3)相同．

選項(A),設磁場隨時間變化規律為B=B0+kt.又由

v=v0-at，

得

對時間t求導,得

圖5

討論:小球逆時針減速運動時(第一象限),v減小,F水平減小,且F水平方向指向球心,則FN減小;后來,小球順時針加速運動時(第四象限),v增大,F水平增大,且F水平方向沿半徑向外,則FN增大;故(A)選項正確．

磁場力為

(3)

同理得

討論:

圖6

筆者認為在分析感生電場問題時,高中階段也應重視中心對稱型磁場的中心和范圍,只有確定感生電場中心位置后,才能具體分析帶電小球在感生電場中的運動情況,以及判斷局部導體棒上的感應電動勢大小．