一道均質(zhì)鏈繩問題的多樣化思路教學

陳 輝

(永康市第一中學,浙江 金華 321300)

在物理中有一類細線和輕繩,材質(zhì)柔軟質(zhì)量不能忽略,均勻分布,這樣的模型叫均質(zhì)鏈繩.與鏈繩有關(guān)的靜力學、動力學問題是高中物理競賽重點考察內(nèi)容之一,題設(shè)非常簡潔,又能很好地考察學生運用數(shù)學解決物理問題的綜合能力,鏈繩問題與高考題型截然不同,用常規(guī)解題思路難以入手.在重視物理核心素養(yǎng)的教學背景下,中學物理教學應有意識地多角度分析問題,歸納比較形成一套思想方法體系,培養(yǎng)學生學習興趣,調(diào)動學習積極性,思維靈活性、創(chuàng)造性.[1]本文通過一道經(jīng)典均質(zhì)鏈繩競賽題的多樣化思路教學探索培養(yǎng)學生優(yōu)秀思維品質(zhì)的教學途徑.

圖1 均質(zhì)鏈繩

均勻不可伸長的繩子如圖1,兩端懸掛在A、B兩點,B比A高h.在A點繩子張力為TA,繩子的質(zhì)量為m,繩長為l.

(1) 求B點繩子的張力;

(2) 假設(shè)有一根與AB繩一樣形狀的光滑彎曲管道,繩恰好鋪在整根管道中,A、B兩端用手拉住,求放手瞬間繩子的加速度大小.

1 靜力學分析

圖2 等效建模

求B點繩子張力是一個靜力學問題,可分別運用微元積累、補償法、虛功原理3種思想方法.

1.1 微元積累

圖3 受力分析

每段繩子沿x正方向的拉力比負方向的拉力大ΔT,因為α→0、β→0,Ti+1cosα≈Ti+1,Ticosβ≈Ti,所以ΔT=Ti+1-Ti=Δmgsinθi,兩邊累加可得

B、A′張力差值為∑ΔT=TB-TA′,∑Δxsinθi是該段繩Δx在豎直方向上的投影，∑Δxsinθi=∑Δhi=h,整理得

圖4 等效建模

1.2 補償法

補償法指對原模型進行填補,然后對填補部分進行分析,以達簡化問題的方法.

用長為L的光滑斜面放在A、B兩點,加段直繩沿著斜面將原來繩子接通,如圖4.原鏈繩與直繩整體處于平衡狀態(tài),A、B兩點相當于架設(shè)兩個定滑輪,直繩兩端張力分別等于鏈繩兩端張力大小.

1.3 虛功原理

本題也可用虛功原理求解,虛功原理∑Fiδri=0,表示物體在力系作用下處于平衡狀態(tài),若由于其他原因使物體產(chǎn)生符合約束條件的連續(xù)微小虛位移δri,則所有主動力(外力和內(nèi)力)在虛位移上所做的虛功為零.這是由伯努力1717年提出的,到1764年拉格朗日進一步完善.[1]由于高中生已接觸一些基礎(chǔ)的導數(shù)和微積分思想,在中學教學中滲透虛功原理思想是可行的.

圖5 微小虛位移

2 動力學分析

3 方法比較評析

牛頓定律及在此基礎(chǔ)上的理論為牛頓力學(也稱矢量力學),拉格朗日方程及此理論基礎(chǔ)上的理論為拉格朗日力學(也稱分析力學),[2]下面對4類不同教學思路比較評析.

(1) 解法1是牛頓力學法,原則上所有的靜力學問題都可由此方法解決．本題研究對象為曲線,若用常規(guī)解法學生還不具備高等數(shù)學水平,找不準重心位置、算不出角度大小,無從下手.“微元積累”思路上雖可行,但需畫出復雜受力圖，列方程組,數(shù)形結(jié)合能力要求高,只適合少數(shù)高水平學生.

(2) 解法2采用補償法,實現(xiàn)模型等效轉(zhuǎn)換,將模型化曲為直,化陌生為熟悉,運用基本方法即輕松解決,通俗易懂,此思路最妙,此法適合所有層次學生.

(3) 解法3虛功原理是分析力學中的重要方法,新穎獨特,學生感嘆有如此神奇的方法,腦洞大開,對啟發(fā)學生創(chuàng)造性思維作用顯著,解法1和解法3推薦給今后有物理研究方向的學生.

(4) 第(2)問求繩瞬時加速度采用功能關(guān)系同樣非常巧妙,和解法1比避開復雜作圖，列方程組,用功能關(guān)系列方程找出速度與微位移關(guān)系,間接求出了加速度,和解法3異曲同工.

(5) 解法3和第(2)問解法都用了圖5進行分析,難道思想方法相同嗎?虛功原理只適用處于平衡狀態(tài)的物體系,解法3可用.而求瞬時加速度是動力學問題,虛功原理顯然行不通,采用的是功能關(guān)系.功能關(guān)系既可用于靜力學問題,又可用于動力學問題,適用范圍更廣.

(6) 以上解法表明,當研究對象特殊,牛頓力學方法不可行時,學生應采用能量方法如虛功原理和功能關(guān)系.

4 多樣化教學啟示

對均質(zhì)鏈繩這一類經(jīng)典力學問題的分析,在習題教學中,要有意識地拓展分析思路與方法,不應局限于某種方法,舉一反三,在教學中拓展,引申如微元積累、補償法、虛功原理、功能關(guān)系等重要規(guī)律和方法輔助分析,可高效拓展學生的分析思維,激發(fā)學生學習的積極性,優(yōu)化創(chuàng)造性思維品質(zhì),提高綜合運用知識的能力.