組合預測中變權與定權的應用比較

張 鵬

（太原工業學院 理學系，太原 030008）

0 引言

同一預測問題，往往不局限于一種方法，如果簡單地舍棄誤差大的選擇誤差小的通常會丟失一些有用的信息，相對科學的做法是綜合不同模型的優點，進行適當的組合，即所謂的組合預測方法。多數組合模型的基本思想是將各單一模型預測結果通過加權平均而得到組合預測結果，有線性加權和非線性加權。

王莎莎等[1]以最小誤差平方和最小為準則，將ARIMA、混合時間序列和GM(1,1)模型通過線性組合，運用二次規劃得出最優權值；陳啟明[2]提出了基于灰色關聯度的權值確定方法，這些組合模型大多共性都是同一模型在組合中權值是固定的，不隨時間變化，即定權組合。

本文針對線性組合權值的確定方法，分別構造定權函數和變權函數，建立基于ARIMA、GM、BP三種單一模型的線性定權組合模型和線性變權組合，并應用于GDP預測，比較二者的優劣，進而來說明組合權值的時效性。

1 組合模型及權值的確定方法

記實際觀測序列為{yt}，t=1，...，N，對其優選m種不同的單一預測模型，表示第i種單一模型在時刻t的擬合值，各種單一預測方法時刻t在組合模型中的權值記為那么通過組合建立的模型則為單一模型預測值的加權平均，本文討論的為基于線性加權，即模型表達式如下：

1.1 定權組合及權值確定法

所謂定權，即在組合模型中，同一單項模型在不同時刻權值是固定的，與樣本點的先后順序無關，可以理解為關于時間的常值函數，此時模型（1）為：

常見的定權確定方法有：誤差絕對值倒數法、誤差平方倒數法、二次規劃法等。本文采用的定權是誤差平方倒數法和二次非線性規劃法分別確定權值。

（1）誤差平方倒數法，這種方法根據單一模型的誤差來決定組合權數，誤差大則在組合模型中權值小。此時模型（2）中權值ωi為：

（2）二次非線性規劃法，該方法以誤差平方和最小為準則，記為組合模型在t時刻的預測誤差；為第i種單一預測模型在t時刻的預測誤差，此時模型（2）中權值ωi由式（4）求得：

記誤差信息陣為E=(Eij)m，其中；權向量為；m維全 1列向量R=(1，...，，則式（4）可表示為：

根據真實值和預測值可得誤差信息陣E，基于Lagrange乘子法[3]，借助MATLAB中函數quadprod則可得式（5）的最優解。

1.2 變權組合及權值確定法

所謂變權，與定權不同，即權系數隨時間變化而變化，此時組合模型為式（1）。在此，同樣以誤差倒數法和二次非線性規劃法來計算不同時刻的權值。

（2）二次非線性規劃法，t時刻的權向量ωt可由式（7）求得：

同樣根據求得的Et，基于Lagrange乘子法，利用MATLAB中函數quadprod可得式（7）的最優解。

上述式（6）和式（7）最優解給出了兩種樣本期內的權值，在預測期，第i種單一模型在時刻N+p時的權值，實質為周期為N的移動平均值[4]，定義為：

2 實證分析

由《中國統計年鑒》給出的年度GDP數據（1978—2015年），訓練樣本數據為1978—2011年，測試樣本為2012—2016年，外推預測2017—2019年。首先進行單一模型ARIMA、GM、BP的訓練，其次依據本文中定權和變權函數分別構建兩種組合模型，最后通過以相對誤差指標來分析模型的優劣。

2.1 單一模型

2.1.1 ARIMA模型

由圖1明顯看出GDP呈現指數趨勢，為非平穩時序，故先對原序列進行對數變換log(GDP)，然后以ADF檢驗為準則，判斷是否平穩，經過一階差分運算得到平穩序列Δ log(GDP)，見圖2，最后結合自相關圖和偏自相關圖，綜合比較模型的AIC、BIC準則，確定了模型ARIMA(4,1,0)，表達式如下：

圖1 1978—2015年度GDP趨勢

圖2對數GDP一階差分

模型參數均具有顯著性差異，且殘差為白噪聲，即不存在自相關性和異方差性，說明模型擬合結果較好。并用于檢測樣本的預測，預測值與誤差見下頁表1。

2.1.2 灰色GM(1,1)預測模型

在灰色GM(1,1)模型中，對原始數據首先進行級比判斷，通過計算，原始數據的級比值均位于界區之內，所以原始數據可用來建立灰色預測模型。

通過累減還原預測值公式:

得到預測值及誤差，見表1。

表1 三種單一模型的預測值及相對誤差 （單位：億）

2.1.3 BP網絡預測模型

基于誤差反向傳播的多層前饋神經網絡BP是應用最廣的一種NN模型，其結構的關鍵是隱含層節點數，本文采用“0.618法”來確定，其公式為：

其中，hidN表示隱含節點數，inN表示輸入層節點數，outN表示輸出層節點數。本文首先將樣本數據利用極大極小法則歸一化處理至[0，1]區間，連續5個樣本作為輸入，即第6個數據作為輸出，即youtput=y(t)，由式（9）可知隱層節點數為6。預測結果見表1所示。

2.2 組合預測模型

2.2.1 定權線性組合

將ARIMA、GM、BP模型定權組合，通過式（3），得權值依次為：0.5410、0.1157和0.3433，得到相應組合模型的預測值見表2；通過求解式（5）得到權值依次為：0.3214、0.2661和0.4125，得到相應組合模型的預測值見表2所示。

表2 定權組合模型預測對比

從表2可看出，定權組合下，相比誤差倒數法，二次非線性規劃確定的權值對檢測樣本的預測精度略高。相比表1，兩種組合的平均相對誤差均小于所有單一預測模型的平均相對誤差。

2.2.2 變權線性組合

將ARIMA、GM、BP模型進行變權組合，通過式（6）和求解式（7），得訓練樣本各時刻的權值，進而通過計算式（8）得檢測樣本各時刻權值，見表3所示；最后得到相應組合模型的預測值，見表4所示。

表3 變權組合下的權向量

表4 變權組合模型預測對比

綜合比較表2、表4，不管是誤差倒數法確定的權系數，還是二次非線性規劃法確定的權系數，變權組合得到的相對誤差均值小于定權得到的誤差；而且相比誤差倒數法，二次非線性規劃法確定的權系數在定權和變權組合中要優。

基于二次非線性規劃變權組合模型，表5給出2016—2019年GDP的預測值。

表5 GDP預測值 （單位：億）

表5給出2016年的預測值為735218.6，而實際GDP為744127，預測結果的相對誤差為1.20%，進一步說明變權重組合預測方法相對定權重組合預測方法具有較高的預測精度，即對于時間序列數據，組合預測的權值具有時效性。

3 結論

本文在以1978—2011年度GDP樣本數據，建立ARIMA，GM(1,1)以及BP的定權于變權組合預測模型，對2012—2015年數據進行檢驗，并進一步預測未來短期的GDP發展趨勢，得出時間序列數據的組合預測權值具有時效性。相比單一模型和定權組合，變權組合具有一定的優勢，但是受影響因素多的復雜性，接下來研究基于多因素變權非線性組合對時間序列預測的問題。