PP檢驗(yàn)對(duì)異方差時(shí)間序列的偽檢驗(yàn)

田行宇，李傳金

（1.寧德師范學(xué)院 語(yǔ)言與文化學(xué)院，福建 寧德 352100；2.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，福州 350118）

0 引言

時(shí)間序列分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程應(yīng)用等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。進(jìn)行多變量的回歸分析或自回歸分析，都要求數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)性。當(dāng)時(shí)間序列的概率分布不隨時(shí)間變化，如變量的均值、方差和協(xié)方差不隨時(shí)間變化，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是（寬）平穩(wěn)的。

判別時(shí)間序列的平穩(wěn)性包含圖檢驗(yàn)法和假設(shè)檢驗(yàn)法兩種類(lèi)型。圖檢驗(yàn)法細(xì)分為時(shí)序圖檢驗(yàn)和自相關(guān)函數(shù)圖檢驗(yàn)。最常用的構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法是單位根檢驗(yàn)。單位根檢驗(yàn)包含DF檢驗(yàn)、ADF檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)等一系列方法[1,2]。

單位根檢驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)偽檢驗(yàn)現(xiàn)象。Perron[3]將結(jié)構(gòu)突變引入單位根檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)采用傳統(tǒng)的ADF檢驗(yàn)容易將帶有結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程誤判為單位根過(guò)程，這種現(xiàn)象稱(chēng)為“Perron”現(xiàn)象。Perron還給出了3類(lèi)結(jié)構(gòu)突變模型，分別為均值突變、斜率突變、均值與斜率雙突變。欒惠德[4]、胡俊娟[5]、左秀霞[6]、何云強(qiáng)[7]深入研究了單位根檢驗(yàn)在結(jié)構(gòu)突變的時(shí)間序列中的應(yīng)用。徐炳勝等[8]和吳翔[9]分析了單位根“偽檢驗(yàn)”的不同類(lèi)型。郭洪偉[10]指出一些文獻(xiàn)中單位根檢驗(yàn)存在偽檢驗(yàn)。張建華[11]指出當(dāng)時(shí)間序列結(jié)構(gòu)突變時(shí),不考慮這種結(jié)構(gòu)突變而進(jìn)行常規(guī)的單位根檢驗(yàn)將導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論，并且隨著結(jié)構(gòu)變化程度的增大,“偽檢驗(yàn)”的可能性也會(huì)增大。劉田[12，13]指出ADF和PP檢驗(yàn)對(duì)無(wú)趨勢(shì)或線性趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程可給出正確的結(jié)果，但非線性過(guò)程基本失效。

許多時(shí)間序列的方差隨時(shí)間變化，屬于異方差時(shí)間序列。已有的研究表明，ADF檢驗(yàn)要求時(shí)間序列滿足方差齊性，對(duì)異方差時(shí)間序列判別效果不佳[1,10]。對(duì)于PP檢驗(yàn)是否能正確判別異方差時(shí)間序列的平穩(wěn)性，王艷[1]認(rèn)為PP檢驗(yàn)適用于異方差時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，呂光明[14]認(rèn)為PP檢驗(yàn)可以校正異方差對(duì)檢驗(yàn)結(jié)論的影響。本文通過(guò)構(gòu)造異方差時(shí)間序列驗(yàn)證PP檢驗(yàn)?zāi)芊裾_判別異方差時(shí)間序列的平穩(wěn)性。

1 PP檢驗(yàn)

PP檢驗(yàn)通過(guò)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量Z()τ進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，具體方法如下[1,2]：

對(duì)時(shí)間序列Xt，考慮如下形式的自回歸序列方程：

其中εt為隨機(jī)干擾項(xiàng)。

零假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：H0:δ=0，（Xt非平穩(wěn)）；H1:δ＜0（Xt平穩(wěn)）。接受零假設(shè)，認(rèn)為序列Xt非平穩(wěn)；反之，拒絕零假設(shè)，認(rèn)為序列Xt顯著平穩(wěn)。

Phillips和Perron對(duì)DF統(tǒng)計(jì)量τ進(jìn)行了非參數(shù)修正，修正后的統(tǒng)計(jì)量：

其中：

修正后的統(tǒng)計(jì)量Z(τ)和DF統(tǒng)計(jì)量τ具有相同的極限分布，Z(τ)可以使用DF統(tǒng)計(jì)量τ的臨界值表來(lái)進(jìn)行判斷。對(duì)比Z(τ)與臨界值表中給定顯著性水平α對(duì)應(yīng)的臨界值：當(dāng)Z(τ)≤臨界值，則拒絕零假設(shè)，Xt是非平穩(wěn)的；當(dāng)Z(τ)＞臨界值，接受原假設(shè)，Xt是平穩(wěn)的。上文只討論了不含趨勢(shì)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的情況。PP檢驗(yàn)也可以檢驗(yàn)包含常數(shù)項(xiàng)或同時(shí)包含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)的情況。

2 時(shí)間序列及平穩(wěn)性檢驗(yàn)

2.1 時(shí)間序列

按照均值方差都不變、均值突變、方差突變、方差遞增、方差遞減五種情況設(shè)計(jì)生成X1、X2、X3、X4、X5五個(gè)時(shí)間序列，每個(gè)序列的樣本長(zhǎng)n都為1000，X3、X4、X5屬于異方差時(shí)間序列。序列X1、X2和X3分成n1(1～500)和n2(501～1000)前后兩部分?jǐn)?shù)據(jù)，每一部分都是高斯白噪聲序列（符合平穩(wěn)過(guò)程）。序列X1前后兩部分?jǐn)?shù)據(jù)的均值和方差相同，序列X2和X3前后兩部分的均值μ和方差σ有變化，具體值見(jiàn)表1所示。方差遞增序列X4和方差遞減序列X5由序列X1構(gòu)造而成，其中X4=X1*t/200，隨t的增大方差增大，X5=X1*(1000-t)/200，隨t的增大方差減小。

表1 X1、X2和X3的均值和方差

2.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

（1）時(shí)序圖法

圖1中繪制了五個(gè)序列的時(shí)序圖。從圖1可知，從n1(1～500)到n2(501～1000)，X1的均值和方差無(wú)明顯變化，X2的均值發(fā)生突變，X3的方差發(fā)生突變，X4的方差遞增，X5的方差遞減。根據(jù)平穩(wěn)性條件中均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)數(shù)據(jù)是平穩(wěn)時(shí)圖形始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，且波動(dòng)的范圍有界、無(wú)明顯趨勢(shì)及周期特征。若數(shù)據(jù)是不平穩(wěn)時(shí)，往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值。由此可判斷：X1是平穩(wěn)的，X2、X3、X4、X5是非平穩(wěn)的。

圖1時(shí)序圖

（2）自相關(guān)圖

圖2給出了五個(gè)序列的自相關(guān)圖，其中橫坐標(biāo)為延遲期數(shù)k，縱坐標(biāo)為自相關(guān)系數(shù)rk。由圖2可知，X1、X3、X4和X5的rk較快衰減向零，X2的rk值從1緩慢衰減到0.7左右。根據(jù)自相關(guān)圖平穩(wěn)性判別方法，隨著k逐漸增大，對(duì)于平穩(wěn)數(shù)據(jù)，rk較快衰減向零，對(duì)于非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，rk衰減向零的速度較緩慢。由此判別：得出 X1、X3、X4、X5是平穩(wěn)的，X2是非平穩(wěn)的。

圖2自相關(guān)圖

（3）PP檢驗(yàn)

使用MATLAB編寫(xiě)PP檢驗(yàn)程序測(cè)試序列的平穩(wěn)性。顯著水平α=0.05。根據(jù)劉田[12，13]給出的公式4( )

2.3 結(jié)果

表2給出了時(shí)序圖法、自關(guān)圖法和PP檢驗(yàn)平穩(wěn)性判別結(jié)果。

表2 時(shí)序圖法、自關(guān)圖法和PP檢驗(yàn)結(jié)果

從表2可知，對(duì)于X1，均值和方差都沒(méi)有變化的數(shù)據(jù)，三種方法都能判別為平穩(wěn)信號(hào)。

對(duì)于X2，均值有明顯變化，方差沒(méi)有變化，時(shí)序圖和自相關(guān)圖都判別為非平穩(wěn)信號(hào)，而PP檢驗(yàn)判別為平穩(wěn)信號(hào)。顯然PP檢驗(yàn)出現(xiàn)了誤判，說(shuō)明PP檢驗(yàn)不能有效判別數(shù)據(jù)均值改變的情況。

對(duì)于X3、X4和X5，均值沒(méi)有變化，方差有明顯改變，時(shí)序圖判斷為非平穩(wěn)信號(hào)，而自相關(guān)圖和PP檢驗(yàn)都判別為平穩(wěn)信號(hào)。顯然自相關(guān)圖和PP檢驗(yàn)出現(xiàn)了誤判，說(shuō)明自相圖法和PP檢驗(yàn)都不能有效判別異方差序列的平穩(wěn)性。

綜合以上分析，時(shí)序圖法可以準(zhǔn)確判別五個(gè)序列的平穩(wěn)性，自相關(guān)圖法不能準(zhǔn)確判斷X3、X4和X5序列的平穩(wěn)性，PP 檢驗(yàn)不能準(zhǔn)確判別 X2、X3、X4和 X5序列的平穩(wěn)性。n10014確定滯后項(xiàng)為7。為了不失一般性，1～20范圍內(nèi)滯后項(xiàng)和三個(gè)模型都檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果所有的P值均小于0.001，判別結(jié)果拒絕存在單位根的零假設(shè)，判別序列X1、X2、X3、X4和X5都是平穩(wěn)的。

3 結(jié)論

（1）平穩(wěn)性判別需要結(jié)合時(shí)序圖和自相關(guān)圖法進(jìn)行。單純使用PP檢驗(yàn)等假設(shè)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，不結(jié)合時(shí)序圖和自相關(guān)圖法，容易出現(xiàn)誤判。但時(shí)序圖和自相關(guān)圖法都要人工判別圖形的特征，判別結(jié)果帶有較強(qiáng)的主觀性，準(zhǔn)確性有時(shí)難以保證[1]。

（2）對(duì)于異方差時(shí)間序列，PP檢驗(yàn)失效。一般認(rèn)為，ADF檢驗(yàn)是在方差齊性情況下應(yīng)用，PP檢驗(yàn)?zāi)軌驊?yīng)用于異方差情況[14]。但通過(guò)本文的研究，PP檢驗(yàn)對(duì)于異方差時(shí)間序列誤判為平穩(wěn)序列，檢驗(yàn)失效，需慎用。

（3）相關(guān)研究已指出，對(duì)于時(shí)間序列出現(xiàn)均值改變，斜率改變，或兩者都改變等結(jié)構(gòu)突變情況，單位根檢驗(yàn)準(zhǔn)確性降低[4,11-13]。當(dāng)時(shí)間序列的方差發(fā)生突變時(shí)有何影響，鮮有文獻(xiàn)報(bào)道。建議今后研究時(shí)間序列平穩(wěn)性時(shí)，可將方差突變列入結(jié)構(gòu)突變的范疇。