堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的不平等測度比較

韓秀蘭，張 楠

（山西財經(jīng)大學 統(tǒng)計學院，太原 030006）

0 引言

不平等指數(shù)作為不平等測度的重要方法，相關(guān)研究十分豐富。自Gini（1914）提出基尼系數(shù)后，眾多學者構(gòu)造了一系列新指數(shù)來測度不平等，這些指數(shù)主要包括Bonferroni指數(shù)（1930）[1]、Vergottini指數(shù)（1940）[2]、Atkinson 指 數(shù)（1970）[3]、泰爾指數(shù)（1973）[4]以及Zenga指數(shù)（2007）[5]等。

不平等指標如果具有較優(yōu)良的特性，就能以更好的方式來測量不平等。目前，一些具有較優(yōu)良特性的不平等指標并沒有得到應有的重視。比如堪培拉（Canberra）指數(shù)，該指數(shù)基于堪培拉距離衡量不平等，其良好性能由Subramanian（2012）[6]在測度洛倫茨曲線間的混亂程度時首次闡釋，國外文獻有許多相關(guān)的理論探討和實證應用，但堪培拉指數(shù)在中國尚未引起人們的關(guān)注。本文將堪培拉指數(shù)與傳統(tǒng)的基尼系數(shù)進行比較，系統(tǒng)地探討堪培拉指數(shù)對不平等的度量。

1 堪培拉指數(shù)

1.1 符號定義

為了以較統(tǒng)一的方式給出不平等指數(shù)的數(shù)學表達式，有必要首先對基本符號進行定義。

非負、升序排列的n維收入向量：x=(x1…xi…xn)；

收入升序排列的前i個人的累積人口比例：pi=i/n；

前i個人的累積收入：時，累積收入為總收入T(x)；

前i個人的累積收入比例：L(Pi)=Qi(x)/T(x)；

前i個人的平均收入：μi=Qi(x)/i；

總平均收入：μ=T(x)/n。

1.2 堪培拉指數(shù)

堪培拉（Canberra）指數(shù)是國際上最新的不平等測度指標，是將堪培拉距離函數(shù)引入經(jīng)濟和社會領(lǐng)域來測度不平等。n維向量a和b間堪培拉距離的定義為：

對于升序排列的n維非負收入向量x=(x1…xi…xn)，平等分配時每個人的收入都相同，相應的收入向量為μx=(μ1…μi…μn)，μi=μ，Subramanian（2012）[6]基于堪培拉距離函數(shù)構(gòu)造的不平等指數(shù)稱為堪培拉指數(shù)：

顯然，堪培拉指數(shù)是收入升序排列的前i個人的平均收入與總體平均收入之間相對差距的平均值。Subramanian（2012）[6]將DC(x)=[μ-μi(x)]/[μ+μi(x)]，x∈[0，μ]定義為堪培拉剝奪函數(shù)，Mirzaei等（2017）[7]進一步將堪培拉剝奪函數(shù)定義為堪培拉曲線（見圖1）：

圖1堪培拉曲線

如果總體中所有個體具有相同的收入，則μ=μi、p=L(p)，堪培拉曲線與連接坐標點（0,0）、（1,0）的平等線重合，因此，堪培拉指數(shù)可定義為堪培拉曲線以下的面積：

顯然，堪培拉指數(shù)的值域為[0,1]。

1.3 基尼系數(shù)

基尼系數(shù)是應用最廣泛的傳統(tǒng)不平等指標，其定義基于洛倫茲曲線函數(shù)L(p)，該函數(shù)指收入升序排列后一定人口累積分位數(shù)所對應的收入累積分位數(shù)（見圖2），可表示為：

圖2洛倫茲曲線

洛倫茨曲線始終低于代表完全平等的對角線（圖中450線）I(p)=p，p∈[0，1]，任何與對角線之間的偏差都代表存在一定程度的不平等，因此基尼系數(shù)可表示為：

可以看出，式（6）所示的基尼系數(shù)也是基于某種意義的距離來表示不平等，該距離是對角線I(p)=p和洛倫茨曲線L(p)之間的距離?；嵯禂?shù)的值域為[0,1]。

2 堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的比較分析

堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的提出雖然相隔一個世紀之久，卻有諸多相似之處，兩指數(shù)都體現(xiàn)“距離”的概念，存在相應的不平等曲線，具有相似的幾何意義。由于兩指數(shù)的構(gòu)造思想不同，對不同收入群體的敏感性不同，導致滿足的公理化要求和相應的分解方式也有所區(qū)別。

2.1 測度敏感性比較

對比堪培拉指數(shù)的積分表達式（4）與基尼系數(shù)的積分表達式（6），如果收入完全平等分配，所有人口累積分位數(shù)等于對應的收入累積分位數(shù)，即p=L(p)，則有C=G=0；通常情況下堪培拉指數(shù)和基尼系數(shù)的值都大于0，但兩者不相等。

將式（2）的堪培拉指數(shù)加和形式進一步展開，堪培拉指數(shù)還可表示為：

Sen（1973）[8]將基尼系數(shù)表示為：

將式（7）和式（8）對比可知，對于每個i=1，…，n，收入水平xi重復n+1-i次，收入最低的xi重復了n次，收入最高的xn重復了1次。堪培拉指數(shù)和基尼系數(shù)都體現(xiàn)出一種特殊的隨著收入排名的提高而觀測值出現(xiàn)次數(shù)遞減的布局結(jié)構(gòu)，由于兩者構(gòu)造的方法不同，考慮的收入差異對比的標準不同，盡管具有相似的布局結(jié)構(gòu)，兩者對升序排列的不同累積分位數(shù)群體的收入差異敏感度仍然不同。

為了對比分析，將式（4）所示的堪培拉指數(shù)與式（6）所示的基尼系數(shù)統(tǒng)一變換為：

與基尼系數(shù)一樣，堪培拉指數(shù)的核心部分也是p-L(p)，如前文所述，這部分是完全平等分配累積收入份額p與實際累積收入份額L(p)的差額，兩種指數(shù)賦予該差額以不同的權(quán)重，基尼系數(shù)中的權(quán)重wG(p)為常數(shù)2，而堪培拉指數(shù)中的權(quán)重wC(p)=1/[p+L(p)]隨著累積收入分位數(shù)的上升而遞減。基尼系數(shù)和堪培拉指數(shù)權(quán)重的這種差異意味著前者對累積收入分位數(shù)中部的收入差距比較敏感，而后者對累積收入分位數(shù)低處的收入差距比較敏感。

2.2 滿足的公理化性質(zhì)比較

不平等度量指標需要滿足某些公理化要求，以保證其良好的測量性質(zhì)，這些公理如表1所示。

表1 不平等測度指數(shù)的性質(zhì)

不平等度量指標通常滿足的公理越多（兩種不平等測度指數(shù)所滿足性質(zhì)的證明過程有大量的文獻對此關(guān)注，鑒于篇幅限制，本文將其略去），越能得到較廣泛的認可?？芭嗬笖?shù)滿足表中所有的公理：齊次性、弱轉(zhuǎn)移性、強轉(zhuǎn)移性、人口對稱性和可加性，而基尼系數(shù)不滿足強轉(zhuǎn)移公理。另外，兩種指數(shù)雖然都滿足可加性，但堪培拉指數(shù)的分解更簡潔，解釋能力更強。

基尼系數(shù)和洛倫茲曲線的組合可以用直觀的形式來表達不平等，作為最經(jīng)典的不平等測度方式，具有很強的理論和實際意義。然而，基尼系數(shù)對低收入群體沒有給予足夠的重視，不滿足強轉(zhuǎn)移公理要求，這也是基尼系數(shù)存在的較大缺陷。因此，滿足強轉(zhuǎn)移原則的堪培拉指數(shù)更應作為測度不平等的重要工具，以表達更多關(guān)注窮人的福利思想。

2.3 可加性比較

不平等指數(shù)的可加性可用于揭示不平等的構(gòu)成，所得結(jié)論具有更直接的政策指導意義，堪培拉指數(shù)指數(shù)和基尼系數(shù)的構(gòu)造不同，具有不同的分解方式，本文以不平等的人口構(gòu)成子組分解為例進行對比。

設(shè)總體可根據(jù)一定的特征（比如性別、城鄉(xiāng)、地域等特征）分為k個子組，Subramanian（2012）[6]通過建立子組和總體間的映射，將堪培拉指數(shù)按子組分解為：

其中fg表示各子組人口份額，/(μ+μgi)為各子組的堪培拉指數(shù)，其中ng為各子組的個體數(shù)，μgi為各子組與總體相對應的前i個人收入平均值。顯然，堪培拉總不平等測度是子組不平等測度的加權(quán)和，相應權(quán)重是各子組對應的人口份額。

Dagum（1997）[9]給出以下基尼系數(shù)的分解公式：

上面方程中，fg和sg分別為g組人口份額和收入份額。方程（13）測量子組間存在的不平等，表示為任意兩子組間基尼系數(shù)Glg=Δlg/(μl+μg)與其人口比重和收入比重的加權(quán)和，為任意兩組間的平均絕對差異；方程（14）是組內(nèi)不平等，組間不平等GTB又可進一步表示為組間不平等的凈貢獻GNB和組間交叉項GC之和：

可見，由于兩種指數(shù)的構(gòu)造方法不同，分解方式也不同，相比之下，基尼系數(shù)子組分解顯得過于復雜，并且相應的分解除了組內(nèi)不平等和組間凈不平等外，存在組間交叉項等難以解釋的余項，而堪培拉指數(shù)可直接分解為各組不平等指數(shù)的加權(quán)和，更簡潔明了。

3 基于堪培拉指數(shù)的不平等測度實證

3.1 數(shù)據(jù)與指標

應用實際微觀數(shù)據(jù)對堪培拉指數(shù)和基尼系數(shù)進行實證可以更好地理解堪培拉指數(shù)的優(yōu)勢。本文實證所用微觀數(shù)據(jù)為CFPS數(shù)據(jù)①CFPS為北京大學中國社會科學調(diào)查中心實施的中國家庭追蹤調(diào)查。，該數(shù)據(jù)覆蓋全國，專注于中國居民家庭的經(jīng)濟與非經(jīng)濟福利指標，該調(diào)查于2010年正式啟動，最新數(shù)據(jù)可提供至2014年，家庭收入數(shù)據(jù)的調(diào)查是針對上一年度的。

本文對2010年和2014年家庭人均純收入的不平等進行分析，所有數(shù)據(jù)采用2010年價格進行了可比折算。CFPS在2010年和2014年提供的家戶樣本數(shù)分別為14798和13946②為了增加對Canberra不平等指數(shù)測度方法理解的直觀性，本文實證沒有考慮CFPS數(shù)據(jù)的樣本權(quán)重。，排除了缺少實證所需相關(guān)信息的樣本，兩年的最終家戶樣本量分別為13902和12917③統(tǒng)計軟件計算不平等指數(shù)時不考慮0收入數(shù)據(jù)，而0收入家庭又大量存在，直接刪除該樣本會造成估計的偏差，本文以0.00001代替所有的0收入，保證了樣本數(shù)，又不至于影響估計結(jié)果。，農(nóng)村樣本約占到52%。中國家庭的人均純收入4年間經(jīng)歷了較大幅度的增長，絕對水平從10137元上升到14066元（見表2），保持了8.5%以上的年均增長率。但收入增長的不平衡性是存在的，家庭人均純收入的平均值遠高于中位數(shù)，考察的每個年份，收入分布都表現(xiàn)出較明顯的右偏性。

表2 中國家庭人均純收入基本描述統(tǒng)計和不平等測度 （單位：元）

3.2 堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的實證測度結(jié)果對比

首先對比度量值的絕對水平。2009年和2013年，中國家庭人均收入基尼系數(shù)值分別為0.5513和0.5272④本文基尼系數(shù)測度實證時沒有考慮樣本權(quán)重，而且包含0收入家庭，這可能導致不平等測度結(jié)果偏大。，堪培拉指數(shù)值分別為0.5615和0.5555，兩者的測度水平值雖有所差別，但變化的趨勢是一致的，兩者均表明在2009—2013年間中國家庭人均收入存在較高程度的不平等，但兩種不平等測度值都有所下降。

從動態(tài)角度看，兩種曲線揭示出不平等演變的不同細節(jié)。兩個年份的洛倫茨曲線（見下頁圖3）在0＜p＜0.48范圍的低收入部分幾乎重合，位于0.48＜p＜1范圍內(nèi)的洛倫茨曲線明顯上移，可以得出，總不平等的下降主要歸因于較高收入群體的收入與平均收入的差距縮小引起的不平等下降；堪培拉曲線顯示了不同于倫茨曲線的細節(jié)特征。堪培拉曲線（見下頁圖4）顯示，2009—2013年，位于0.48＜p＜1范圍的較高收入群體的堪培拉曲線明顯下移，意味著不平等程度的降低，而位于0＜p＜0.48范圍內(nèi)的較低收入群體的堪培拉曲線卻發(fā)生明顯的上移，意味著不平等程度的上升，較高收入群體的不平等降低略高于較低收入群體的不平等上升導致了堪培拉指數(shù)值度量的總體不平等程度下降。對于中國家庭人均純收入總體不平等在2009—2013年間的這種動態(tài)演變特征：總體不平等程度有所下降，但低收入群體狀況更加惡化，不同群體的細節(jié)特征在洛倫茨曲線中難以觀察到，但在堪培拉曲線中卻包含了更多的信息，因此，與洛倫茨曲線相比，堪培拉曲線更加關(guān)注較低收入群體，與基尼系數(shù)相比，堪培拉指數(shù)提供了有關(guān)不平等動態(tài)演變的更多細節(jié)。

圖3中國家庭人均純收入樣本洛倫茨曲線

圖4中國家庭人均純收入樣本堪培拉曲線

3.3 堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的不平等分解比較

為簡單起見，根據(jù)2014年的CFPS數(shù)據(jù)，本文將總體劃分為城市和鄉(xiāng)村兩個子組，用于不平等的子組分解研究?？芭嗬笖?shù)子組分解沒有組間的交叉項，相應分解結(jié)果顯得簡單明了。城市家庭人均純收入堪培拉指數(shù)小于農(nóng)村，考慮城鄉(xiāng)人口份額后，城市和農(nóng)村不平等對總不平等的貢獻率分別為46%和54%（見表3）。

表3 2013年中國家庭人均純收入堪培拉指數(shù)的城鄉(xiāng)不平等樣本分解結(jié)果

與堪培拉指數(shù)的城鄉(xiāng)不平等加和分解相比，基尼系數(shù)的分解過于復雜。城市的基尼系數(shù)略低于農(nóng)村，城市和農(nóng)村組內(nèi)不平等、組間凈不平等和組間交叉項對總不平等的貢獻分別為47%、28%和25%（見表4），基尼系數(shù)城鄉(xiāng)分解過程中城鄉(xiāng)間交叉項的存在導致基尼系數(shù)不能簡單表示為城市和農(nóng)村不平等的加權(quán)和形式。

另外，堪培拉指數(shù)度量的城鄉(xiāng)間不平等具有很大的差別，而基尼系數(shù)的城鄉(xiāng)差異微乎其微，這是由于堪培拉指數(shù)對較低收入群體的收入差異更為敏感。如果社會中的弱勢群體更應值得關(guān)注，基尼系數(shù)有可能低估組間不平等差異。

表4 2013年中國家庭人均純收入基尼系數(shù)的城鄉(xiāng)不平等樣本分解結(jié)果

4 結(jié)論和建議

與基尼系數(shù)相比，堪培拉指數(shù)的特性更優(yōu)異，主要是因為它滿足強轉(zhuǎn)移公理要求，更適合分析較低收入群體的不平等現(xiàn)狀和相關(guān)政策效應；與洛倫茨曲線相比，堪培拉曲線可以展現(xiàn)關(guān)于不平等動態(tài)演化的更多細節(jié)，而基尼系數(shù)則有可能低估組間的不平等差異。

不平等的測度是度量社會公平性的重要參照，當前世界分化動蕩加劇，貧富差距進一步加大，而基尼系數(shù)并不能充分體現(xiàn)這種社會分化。對中國而言，減少貧困和緩解不平等是當前社會和經(jīng)濟發(fā)展的重要戰(zhàn)略目標，減少不平等的相關(guān)政策應該更多地關(guān)注低收入群體，而我國現(xiàn)有不平等方面的測度及相關(guān)的政策效應研究大都以基尼系數(shù)為參照，盡管堪培拉指數(shù)在國際上得到廣泛認可，但在我國卻很少得到關(guān)注。應該與國際接軌，結(jié)合中國實際，選擇性質(zhì)更優(yōu)良、對低福利群體更敏感、能揭示不平等動態(tài)演變更多細節(jié)、能合理體現(xiàn)子組間不平等差異的堪培拉指數(shù)作為不平等統(tǒng)計測度的重要方法工具。