具有第三邊界壞死核腫瘤數學模型穩態解的存在唯一性*

沈海雙，衛雪梅，劉成霞，馮兆永

(1. 廣東工業大學應用數學學院，廣東 廣州 510520；2. 南方醫科大學口腔醫院，廣東 廣州 510280；3. 中山大學數學學院，廣東 廣州 510275)

在20世紀70年代，Greenspan[1-2]提出早期腫瘤的生長規律是可描述為偏微分方程組的自由邊界問題。Friedman等[3]開創性地研究了無死核腫瘤的第一邊界問題的數學模型；Cui等[4]考慮了帶抑制物的模型；Friedman等[5-6]則研究了無死核腫瘤的第三邊界問題。這些文章用嚴格的數學分析，分析了穩態解的存在唯一性，整體解的存在唯一性和解的漸近性態。文獻[7-8]則應用拋物型方程的Lp理論、Schauder估計、比較原理、Banach不動點定理和延拓法，證明了模型整體解的存在唯一性。

在文獻[9]中，Byrne 和Chaplain 在腫瘤形狀為球形并且腫瘤有壞死核的條件下，提出來下述在營養物作用下腫瘤生長的數學模型：

根據文獻[9]，初邊值為：

在文獻[9-10]中：

為方便研究，取μ0=1并采用變量替換：

則模型簡化為：

00

(1)

(2)

(3)

σ(r,t)=σ0, 0≤r≤ρ(t),t>0

(4)

(5)

(6)

(7)

σ(r,0)=σ0, 0≤r≤ρ(0)

(8)

假設(σs(r),ρs,Rs)是模型(1)-(8)的穩態解，即滿足以下方程：

(9)

(10)

(11)

σs(r,t)=σ0, 0≤r≤ρs

(12)

(13)

(14)

顯然有

(15)

再根據式(6)，得

(16)

注1 模型(1)-(8)的穩態解的存在唯一性等價于式(15)-(16)解的存在唯一性。

故本文旨在研究式(15)-(16)解的存在唯一性，其主要結論為：

定理1 當ξ∈(ξ1,ξ3)時，由式(17)確定的ζ滿足ζ′<0。

則式(15)-(16)存在唯一解。其中的ξ,η,ζ,ξ1,C(ξ1)，ξ3的具體表達式參見下一節。

1 相關符號及預備引理

為敘述方便，引進一些符號：

(iii)A1=a4coshξ+sinhξ-a3a4,

A2=a4ξcoshξ+ξsinhξ+a4sinhξ-2a3a4ξ，

A3=ξcoshξ-sinhξ+a4ξsinhξ-a3a4ξ2

因此，式(15)-(16)可分別等價為：

A1ζ2+A2ζ+A3=0

(17)

ξcoshξ-sinhξ+(sinhξ-a1ξ)ζ2+

(18)

并設

f(ξ)=ξcoshξ-sinhξ+(sinhξ-a1ξ)ζ2+

(19)

我們給出幾個預備引理：

引理2 (i) 當1

證明(i) 當10,A2>0,A3≥0或A1≤0,A2<0,A3<0, 式(17)顯然無正解ζ；

故引理2均得證。

引理3 存在0<ξ1<ξ2<ξ3，使得B1(ξ1)=B2(ξ2)=B3(ξ3)=a3，即

A1(ξ1)=A2(ξ2)=A3(ξ3)=0

根據引理2、引理3可知滿足式(15)-(16)的ξ∈(ξ1,ξ3)。

注2 引入簡記符號

C(ξ3)=

證明當ξ∈(ξ1,ξ3)時，即a3a4

a4ξsinhξ-2a3a4>

ξcoshξ+sinhξ+2a4coshξ+a4ξsinhξ-

2a4coshξ-2sinhξ=

ξcoshξ-sinhξ+a4ξsinhξ>0

證明

由于

證明當ξ=ξ3時，A1>0,A2>0,A3=0，有

2 穩態解的存在唯一性

定理1的證明以下分三種情況證明：

(i) 當ξ∈(ξ1,ξ2)時，對式(17)式兩邊求導，可得

即

故有

綜上所述，且ζ′顯然連續，故當ξ∈(ξ1,ξ3)時，由式(17)確定的ζ滿足ζ′<0。

定理2的證明：由定理1可知當ξ∈(ξ1,ξ3)時，ζ′<0，故

定理3的證明：式(19)可改寫為

(20)

由引理6，得

又

結合引理5，可知

因此，式(15)-(16)式至少存在一個解。

因此，式(15)-(16)存在唯一解。