一元二次不等式的多元化解決方法探究

河北省邯鄲市第一中學 潘向宸

一元二次不等式是含有最高次數為2的未知數的不等式，它的一般形式為ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）。一些同學對一元二次不等式的理解存在誤區，并沒有掌握一元二次不等式背后的核心概念，導致其在遇到相關題目后手足無措、心慌意亂。如果在考試中發生上述情況，小則拉低自己的整體分數，大則會紊亂自己的心緒，影響正常的考試發揮。下面我將結合自身實踐經驗，從三種思想著手探究解決一元二次不等式的方法，即數形結合思想、分類討論思想和方程轉化思想，從而為處于迷惑或者困惑中的同學提供新的思考角度。

一、數形結合思想

數形結合思想是將數與形結合與對應起來的一種數學思想，其旨在通過形象生動的幾何圖形，讓我們明白比較抽象的數學關系，往往采用直角坐標系進行表示，我們會比較直觀地感受到其存在的數量關系，從而順利解出數學題目。

利用數形結合思想解決一元二次不等式的具體方法：先要確定不等式兩邊的表達式分別是什么；其次，根據具體的表達式做出相應的函數圖像；最后，具體問題具體分析，結合不等式的條件判斷滿足不等式的區域，這個區域就是不等式的解集。

例如：求解不等式：x2-5x＞6。

第一步：先將題目中的一元二次不等式轉化為等式，并確定題目中的函數表達式是哪些，即將x2-5x＞6轉化為|x2-5x|=6，計算可知x有四個解：x1=-1、x2=2、x3=3、x4=6,然后從中明確y1和y2的表達式分別是y1=|x2-5x|、y2=6。

第二步：根據x的解和上述兩個函數表達式作出相關圖像，如下圖：

第三步：我們從圖中可以發現此一元二次不等式的解集是x＜-1或2＜x＜3或x＞6。

數形結合方法是一種比較便利的解題思想。但是，部分同學容易忽視題目中的細節問題，他們會因為一時疏忽而遺漏某個不等式存在的條件，從而犯下錯誤，這是廣大學子值得注意與思考的地方。

二、分類討論思想

分類討論思想是針對一元二次不等式的存在條件出現的所有可能情況分層次地展開討論。如果二次項系數含有參數，題目中也沒有明確指示，那么就要對此參數是否為零做出討論；如果一元二次不等式中的參數不明確，那么就要對判別式分大于零、小于零或者等于零這三種情況進行判斷；如果含有參數的一元二次不等式可以轉化成a（x-x1）（x-x2）這種形式，那么就要對x1與x2的關系加以討論，即x1＞x2，x1=x2以及x1＜x2。利用分類討論思想解決一元二次不等式題目時，往往需要進行一次以上的討論，一般來講，如果二次項系數含有參數，先要對二次項系數是否為零進行討論，然后分析不等式是否可以進行因式分解，如果可以進行因式分解，那么就要對一元二次不等式的兩根展開討論，如果不可以進行因式分解，那么就要對判別式的正負情況展開討論。

首先，觀察這道題目的特點，確定考查的知識點，這道題目不僅考查學生是否了解一元一次不等式和一元二次不等式的求解方法，而且還考查了學生是否會利用分類討論思想求解題目。

其次，明確此題目中的分類情況以及分類標準，題目中含有字母系數a，我們要對a進行分類，即a=0和a≠0的情況，而a≠0又可以分為a＞0和a＜0的情況。

最后，我們按照分類情況將不等式進行變形，然后解出最終答案。

第二種情況： ，原不等式變形為 。

有時候為了更好地運用分類討論思想，我們可以將其與數形結合思想進行互相融合、有效統一，從而快速解答一元二次不等式問題，以便節約我們的做題時間。

三、方程轉化思想

方程轉化思想是指將一元二次不等式轉化成相應方程，然后以此為依據求解方程的根，在根的基礎上尋找一元二次不等式的求值范圍。方程、不等式與函數是成一體化的系統知識，我們需要對三者之間的關系進行整合和總結，從而在考試中發揮自己的優勢，以便為以后的學習奠定扎實基礎。

例如：解不等式 x2-x-1＜0 。

首先，我們可以將一元二次不等式轉化成方程，即x2-x-1＜0，x2-x-1=0，然后求出方程的兩個根，即x1=1或者x2=2。

其次，在解答出相應的根之后，我們再結合小于零的取值區間尋找具體的答案，即看此一元二次不等式的取值范圍是哪部分小于0，有時候可以做出相應函數圖像進行求解，或者直接整體代入進行解決，也或者進行分類討論求出答案。

最后，x的取值范圍分為三種情況，即x＜1，1＜x＜2，x＞2，我們根據這三種情況代入某個具體數值，驗證此一元二次方程是否可以滿足不等式小于零的情況，最終確定x的取值范圍。但是，我們還要注意此不等式是否可以出現x等于零的情況，可以直接將零代入式子中進行驗算，當x=0時，x2-x-1=-1，這也就說明x是可以等于零的。

以上是我針對一元二次不等式的多元化解決方法所做的總結。一元二次不等式是高中數學知識體系中較為關鍵的理論結構，其常常與函數、方程等內容配合出題。如果我們沒有弄懂一元二次不等式的性質、特點、屬性等知識，那么就會影響后面章節的學習，從而無法打牢自己的數學地基。當然，由于我的知識水平有限，文中尚有概括不到位的地方，還望老師、其他學子提出指正意見，以便督促我不斷地提高自身素質。