基于問題的概念課教學設計
——以《對數的概念》為例

南通大學附屬中學 尤榮勇

基于問題的教學設計是以問題設計為中心，把學生置于有意義的問題學習環境中，通過解決系列問題而獲得自主學習能力和解決問題的技能，達到教學目標的達成。筆者以《對數的概念》為例，以若干問題為載體進行教學設計，是對概念課教學的一次嘗試，旨在拋磚引玉，還請專家、同行斧正。

一、教學內容與內容分析

本節課是普通高中標準實驗教科書數學必修1（蘇教版）中第三章對數函數內容的第一課時，也是對數函數的入門。對數函數是本章研究的三大初等函數之一，在指數函數的基礎上對函數類型的一次拓廣，它在解決一些日常生活問題及科研中起十分重要的作用。

二、目標和目標解析

1.通過實例使學生認識對數的模型，體會引入對數的必要性；通過師生觀察、分析得出對數的概念及對數式與指數式的互化。

2.通過學生分組探究進行活動，理解對數的重要性質。通過練習，使學生感受到理論與實踐的統一。

3.培養學生的類比、分析、歸納能力，嚴謹的思維品質以及在學習過程中培養學生探究的意識。

三、教學過程設計

（一）情景引入

1．類比運算，已知到未知，鋪墊新概念

問題1：求出下列式子中的三個未知量，并說明它們分別是什么運算？

（1）23=x；（2）y3=8；（3）2t=8。

設計意圖：對學生來說，求出未知量不難，（1）（2）分別是冪的運算、開方運算，但對（3）式是什么運算學生還不清楚，產生認知沖突，從而為導出對數運算做鋪墊。通過問題讓新舊概念建立起實質的、非人為的聯系！

2．感受實例，突出必要性，引入新課題

問題2：海爾集團總裁張瑞敏問自己的員工：你堅持每天提高1%的效率，那么經過多少天，你的工作水平就能提升一倍？你能幫幫他的員工嗎？如果你不能，退一步，你列個方程可以嗎？

(1+1%)x=2。

問題3：2t=8與(1+1%)x=2有什么共性？對于2t=8，易求t=3，而(1+1%)x=2你能否求出x的值？

設計意圖：從生活中的實際背景入手，讓學生進一步產生認知沖突，對學習新概念的必要性產生需求，并主動去發現新概念，為此引進一個數學符號表示這個數，那就是對數。

（二）概念建構

定義：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么就稱b是以a為底N的對數，記作logaN=b，a叫作對數的底數，N叫作真數。

問題：ab=N與logaN=b這兩個等式有何關系？

設計意圖：水到渠成，從具體到抽象引入新概念，強調對數的書寫格式和讀法。a、b和N位置的不同以及它們各自的含義。互化體現了等價轉化這個重要的數學思想。

（三）數學運用

1．互動練習、交流總結，感知對數概念

（1）請你寫幾個指數式，并請你的同座將其改為對數式。

（2）思考問題：在你們寫的對數式logaN=b中，a，N，b的取值范圍各是什么？

設計意圖：對一些寫法中的錯誤或不規范寫法，讓學生相互糾正、去偽存真。通過這種互動的方式，讓學生自己感知對數式和指數式之間的關系，根據字母范圍的研究，培養學生類比、分析、歸納的能力。

2．典例選講，鞏固概念，滲透轉化思想

例1 將下列各指數式改寫成對數式：

問題：指數式改成對數式本質是什么？

例2 將下列對數式改寫成指數式：

問題：對數式改成指數式本質是什么？

設計意圖：通過例1和例2的師生活動，讓學生內化指數式和對數式是一個式子的兩種形式，是等價的、可以互化的，它揭示了數學概念的內涵。

例3 求下列各式的值：（1）log264；（2）log927。

問題：求對數值的本質是什么？真數是底數的多少次冪？

設計意圖：回扣指數，理解對數，滲透化歸思想。

3．歸納特殊，探究規律，生成新的知識生長點

練習1：求下列對數的值：

（1）log51；（2）log101；（3）log1.011。

問題：你知道還有哪些數的對數值也是0？

練習2：求下列對數的值：

（1）log55；（2）log33；（3）log100100。

你知道還有哪些數的對數值也是1？

練習3：求下列各式的值：

通過上式的計算你發現了什么規律？你會證明嗎？

練習4：求下列各式的值：

通過上式的計算你發現了什么規律？你會證明嗎？

設計意圖：通過4組練習的運算，旨在讓學生產生四個新的知識生長點（對數四個性質）：1的對數等于零，底數的對數等于1以及對數恒等式

4．特值計算，引入特殊對數，感悟數學應用價值

練習5：求下列各式的值：

我們通常將以10為底的對數叫作常用對數。為了簡便，N的常用對數log10N簡記作lgN。在科學技術中常常使用以無理數e=2.71828……為底的對數，以e為底的對數叫自然對數，為了簡便，N的自然對數logeN簡記作lnN。

設計意圖：若直接給出常用對數和自然對數符號，學生會對lg與ln這兩種特殊對數的符號產生疑問，有些突兀。這樣從問題計算入手，介紹數學知識產生的實際背景，經歷數學知識的來龍去脈，使新舊知識有了連貫性。

5．知識升華，拓展訓練

設計意圖：幫助學生深層次理解對數的性質、特殊對數的運算、指數之間對數的互化，在概念的應用過程中培養學生的實踐能力。

（四）歸納小結

知識：對數的概念、性質。

思想：轉化與化歸。

方法：特殊到一般。

四、幾點思考

1．概念課教學不妨嘗試設計問題串，實現“講授型”向“探索型”轉變

傳統概念教學注重講授，把一些重要概念稍加分析，再通過習題鞏固，這樣處理根本達不到對概念本質的理解，概念課教學應該力求體現學生主體性的原則，以學生原有的知識結構作為新概念的生長點。不妨通過設計一些問題串，將所要學習的對數概念還原到已有指數概念的認識上，通過步步設問啟發學生的思維，讓學生去體驗對數與指數之間的聯系、啟迪思考對數中底數、真數的符號，通過練習、問題探究，讓學生去感受特殊對數的對數值。教學是一種慢的藝術，要不溫不火，充分發動學生，通過舉例、說理、交流等活動，給學生提供各種探索的機會，調動他們學習的積極性、求知欲。

2．概念課教學應符合學生的認知規律，應由“知識型”向“過程型”轉變

對數概念的獲得，應符合學生的認知規律，教師不能直接告知知識、拋出定義。教材所呈現的是經過數學專家整理過的數學知識，不一定完全符合學生的認知習慣，不可照本宣科。事實上，學生已學習了指數及指數函數，明白了指數運算是已知底數和指數求冪值，而對數則是已知底數和冪值求指數，二者是互逆的關系，這樣水到渠成地產生了對數的概念，從而讓學生感知了概念形成過程，既加深了學生對指數的理解，又為后面對數的運算性質及對數函數的學習做了充分準備。