無(wú)線傳感網(wǎng)中分布式信號(hào)檢測(cè)的多維特征值算法優(yōu)化研究*

劉 云，陳 倩

(昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引言

在大規(guī)模無(wú)線傳感網(wǎng)的分布式信號(hào)檢測(cè)中，由于測(cè)量信息量較大，容易造成數(shù)據(jù)收斂速度較慢、檢測(cè)精度不高等問(wèn)題[1]。利用數(shù)據(jù)集具有較高時(shí)空相關(guān)性和一定冗余度的特性，在減少信號(hào)樣本數(shù)和迭代次數(shù)，保證較快收斂速度的前提下，最大程度提高檢測(cè)精度是信號(hào)檢測(cè)至關(guān)重要的問(wèn)題。

文獻(xiàn)[2]中，Zhou等人提出了一種基于協(xié)方差矩陣最大特征值的Cholesky分解算法MECD(Maximum Eigenvalue of Cholesky Decomposition algorithm)，該算法利用噪聲功率的先驗(yàn)知識(shí)導(dǎo)出假警報(bào)概率和判定閾值的分析表達(dá)式，對(duì)噪聲不確定性具有魯棒性，但檢測(cè)精度較低。文獻(xiàn)[3]中，Tsinos等人提出了一種基于最大特征值的分布式子空間跟蹤算法DST(Distributed Subspace Tracking algorithm)，該算法以完全分散的方式聯(lián)合跟蹤其接收信號(hào)的子空間，克服了集中方法的局限性，但在大型無(wú)線傳感網(wǎng)中，其收斂速度較慢。

在研究MECD算法和DST算法的基礎(chǔ)上，本文提出一種分散功率算法DPM(Decentralized Power Method)，用于分布式計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣的最大特征值，通過(guò)將平均共識(shí)和迭代功率法相結(jié)合，在相對(duì)少量樣本和有限次數(shù)迭代的條件下，實(shí)現(xiàn)了協(xié)方差矩陣最大特征值的較快收斂速度和較高精度估計(jì)。對(duì)比MECD算法和DST算法，仿真結(jié)果表明，DPM算法在減少信號(hào)樣本數(shù)和迭代次數(shù)，保證較快收斂速度的前提下，可以獲得更高的精度。

2 模型建立

2.1 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)由K個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)組成的無(wú)線傳感網(wǎng)，在給定的時(shí)間間隔期間，每個(gè)節(jié)點(diǎn)收集N個(gè)復(fù)雜信號(hào)樣本。全局接收采樣矩陣表示為：

(1)

其中,y(·)∈CK和y[·]∈CN分別表示矩陣Y的列和行,C表示復(fù)數(shù)，列y(n),n=1,2,…,N,表示所有節(jié)點(diǎn)在時(shí)刻n時(shí)所接收的樣本，行y[k]T,k=1,2,…,K,表示周期結(jié)束時(shí)在節(jié)點(diǎn)k處可用的所有樣本。

樣本協(xié)方差矩陣定義為：

(2)

在不失以遞減排序的一般性下，令λ1≥…≥λK≥0為R的特征值，相應(yīng)的特征向量為u1,…,uK。本文使用的符號(hào)如表1所示。

2.2 平均共識(shí)與功率法

(1)平均共識(shí)。

Table 1 List of symbols表1 符號(hào)列表

(3)

其中,z0[k]T表示在節(jié)點(diǎn)k處可用的樣本，則在時(shí)刻t時(shí)AC函數(shù)的輸出定義為：

11TZ0+Et

(4)

其中,1是大小為K的列向量，誤差項(xiàng)為：

Et=[et(1),…,et(m)]∈CK×m

(5)

誤差項(xiàng)Et假設(shè)是有界的或等于零的向量[7,8]。

(6)

(2)功率法。

功率法PM(Power Method)是一種迭代算法，給定方陣，收斂于與矩陣最大特征值相關(guān)聯(lián)的特征向量[9]。樣本協(xié)方差矩陣的迭代表示為：

v(j+1)=Rv(j)

(7)

(8)

3 DPM算法

3.1 定義

(9)

在式(7)中，向量v(j)的第k個(gè)元素表示為v(j)[k]，通過(guò)使用AC算法在節(jié)點(diǎn)k及其鄰居節(jié)點(diǎn)之間迭代交換消息來(lái)實(shí)現(xiàn)。一旦元素v(j)[k]在節(jié)點(diǎn)k處可用，則再次采用AC算法來(lái)完成特征值計(jì)算所需的內(nèi)積和范數(shù)，而在每個(gè)節(jié)點(diǎn)本地進(jìn)行所有元素的操作(如求積、乘以常數(shù)等)[10]。對(duì)于功率法PM，需要以適合于AC的分散方式重寫(xiě)全局迭代，并將全局迭代分解為由各個(gè)節(jié)點(diǎn)執(zhí)行的算法步驟的序列。

以下命題給出PM向量迭代的主要結(jié)果。

命題1給定理想的AC函數(shù)AC(·)，PM迭代重寫(xiě)為：

(10)

證明由式(7)可得：

(11)

(12)

結(jié)合式(11)與式(12)，可得到簡(jiǎn)化式(10)。

□

式(10)因具有以下屬性而適合于分散實(shí)現(xiàn)：

(1)輸出向量的第k個(gè)元素v(j+1)[k]是diag(YZH)第k個(gè)元素，因此：

v(j+1)[k]=z[k]Hy[k]

(13)

式(13)可以由節(jié)點(diǎn)k在本地計(jì)算所得，其中y[k]表示節(jié)點(diǎn)k的接收樣本向量，z[k]表示節(jié)點(diǎn)k的AC輸出。

(2)ACN(·)的輸入是僅包含節(jié)點(diǎn)k本地?cái)?shù)據(jù)v(j)[k]*·y[k]T的第k行。

假定DPM算法迭代v(j+1)已經(jīng)重復(fù)了M次，則通過(guò)對(duì)AC函數(shù)進(jìn)行兩次附加調(diào)用來(lái)計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)的最大特征值估計(jì)，如以下命題：

命題2給定理想的AC函數(shù)AC(·)，對(duì)v(j+1)進(jìn)行M次迭代之后，可以通過(guò)下式獲得最大特征值估計(jì)的K個(gè)本地副本：

1K=

(14)

其中,RN:CK×m→CK表示一個(gè)返回輸入矩陣的行的平方l2規(guī)范的函數(shù)(見(jiàn)表1)。

證明首先在所有K個(gè)節(jié)點(diǎn)迭代M次之后，寫(xiě)出全局輸出如下：

(15)

分子可以寫(xiě)為：

(16)

分母可以寫(xiě)為：

(17)

結(jié)合式(16)與式(17)，可得到簡(jiǎn)化式(14)。

□

3.2 算法描述

根據(jù)命題1和命題2的結(jié)果，采用有限平均時(shí)間替代理想AC函數(shù)，則DPM算法代碼如算法1所示。

算法1分散功率算法(DPM)

輸入: 傳感器k∈{1,…,K}的接收信號(hào)矢量y[k]∈CN；迭代次數(shù)M；初始值υ(0)[k]?k；平均時(shí)間t。

for所有節(jié)點(diǎn)k同時(shí)do

for迭代次數(shù)j=1到Mdo

end

end

4 誤差和復(fù)雜度分析

在本節(jié)中，針對(duì)非理想AC算法對(duì)DPM算法的誤差和數(shù)值復(fù)雜度的影響進(jìn)行分析。

4.1 誤差分析

DPM算法涉及了由AC引起的三個(gè)誤差源。第一個(gè)誤差項(xiàng)定義為：

(18)

第二和第三誤差項(xiàng)來(lái)自式(14)，被定義為：

(19)

(20)

4.2 復(fù)雜度分析

對(duì)于DPM算法，復(fù)雜性主要源于AC算法的重復(fù)使用，從而導(dǎo)致通信開(kāi)銷(xiāo)、時(shí)間延遲和可能的同步問(wèn)題。在以下參數(shù)方面分析算法的復(fù)雜度：(1)調(diào)用函數(shù)的次數(shù)；(2)由一個(gè)節(jié)點(diǎn)通過(guò)無(wú)線信道交換的信息單元的總數(shù)，其中信息單元表示為用于編碼標(biāo)量的位的數(shù)目；(3)算法步驟的數(shù)量，由于輸入、輸出依賴(lài)性而必須以順序方式執(zhí)行單個(gè)任務(wù)。

為了對(duì)復(fù)雜度進(jìn)行比較，考慮一個(gè)集中式多跳結(jié)構(gòu)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)將收集的樣本發(fā)送到融合中心，且融合中心將結(jié)果轉(zhuǎn)發(fā)到每個(gè)節(jié)點(diǎn)[12 - 14]。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最壞通信成本是2(K-1)N=O(KN)。對(duì)于DPM算法，通信成本為O(MNId)，其中，M表示DPM算法的迭代次數(shù)，N表示樣本數(shù)量，I表示AC算法迭代次數(shù)，d表示節(jié)點(diǎn)數(shù)。因此，可以得出結(jié)論，當(dāng)MId

5 仿真分析

5.1 參數(shù)分析

在減少信號(hào)樣本數(shù)和迭代次數(shù)，保證較快收斂速度的前提下，為了獲得較高的檢測(cè)精度，需對(duì)本文算法的仿真參數(shù)進(jìn)行設(shè)定。假設(shè)一個(gè)分布式信號(hào)檢測(cè)場(chǎng)景，其中多個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)協(xié)作以檢測(cè)主要信號(hào)的存在，每個(gè)傳感器基于接收信號(hào)樣本做出關(guān)于信號(hào)存在或不存在的判定[15,16]。從數(shù)學(xué)角度，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為二元假設(shè)檢驗(yàn)，即“信號(hào)加噪聲假設(shè)(H1)”和“僅噪聲假設(shè)(H0)”，且在整個(gè)感測(cè)期間所有傳感器具有相同的假設(shè)[17,18]。當(dāng)假設(shè)為H0時(shí)，傳感器K在給定時(shí)刻n的接收信號(hào)矢量為：

y(n)|H0=η(n)

(21)

其中η(n)～(0,δ2I)。

當(dāng)假設(shè)為H1時(shí)，接收信號(hào)矢量為：

y(n)|H1=Hs(n)+η(n)

(22)

為了對(duì)所提算法進(jìn)行數(shù)值評(píng)估，考慮一個(gè)由K=40個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)生成的無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)。假設(shè)一個(gè)信號(hào)加噪聲模型(H1)，在每個(gè)蒙特卡羅迭代中隨機(jī)生成接收信號(hào)樣本Y。仿真具有以下參數(shù)：每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有N=10個(gè)樣本，噪聲方差δ2=1，具有SNR(ρ=5 dB)的一個(gè)高斯信號(hào)源(P=1)。

5.2 仿真分析

(1)收斂速度分析。

如圖1所示，隨著迭代次數(shù)的增加，DPM算法、MECD算法和DST算法的均方誤差逐漸減小。當(dāng)?shù)螖?shù)M=1時(shí)，DPM算法、MECD算法和DST算法的均方誤差分別為：0.63 dB，1.2 dB和1.42 dB。當(dāng)?shù)螖?shù)M=12時(shí)，DPM算法、MECD算法和DST算法的均方誤差趨于平緩。對(duì)比DST算法和MECD算法，DPM算法的收斂速度最快。

Figure 1 Diagram of the mean square error versus the number of iterations圖1 均方誤差隨迭代次數(shù)的變化

(2)精度分析。

Figure 2 Diagram of mean square error versus time圖2 均方誤差隨時(shí)間的變化

(3)檢測(cè)率隨虛警率變化分析。

如圖3所示，隨著虛警率的增加，DPM算法、DST算法和MECD算法的檢測(cè)率逐漸升高。當(dāng)虛警率為0.05時(shí)，DPM算法、DST算法和MECD算法的檢測(cè)率分別為0.79、0.72和0.69。當(dāng)虛警率為0.5時(shí)，DPM算法、DST算法和MECD算法的檢測(cè)率分別為0.996、0.97和0.918。對(duì)比DST算法和MECD算法，DPM算法的檢測(cè)率較高。

Figure 3 Diagram of detection rate changing with the false alarm rate 圖3 檢測(cè)率隨虛警率的變化

(4)檢測(cè)率隨信噪比變化分析。

圖4顯示了檢測(cè)率隨信噪比的變化情況。從圖中可以看出：隨著信噪比的增加，DPM算法、DST算法和MECD算法的檢測(cè)率逐漸升高。當(dāng)信噪比較低時(shí)(SNR=-9 dB)，DST算法的檢測(cè)率比MECD算法增加28.5%，DPM算法的檢測(cè)率比DST算法增加27.8%。對(duì)比DST算法和MECD算法，DPM算法具有更高的噪聲魯棒性。

Figure 4 Diagram of the detection rate changing with the signal to noise ratio 圖4 檢測(cè)率隨信噪比的變化

6 結(jié)束語(yǔ)

在大規(guī)模無(wú)線傳感網(wǎng)的分布式信號(hào)檢測(cè)中，針對(duì)相關(guān)性較高并有一定冗余度的數(shù)據(jù)集，為解決傳輸數(shù)據(jù)量大引起的收斂速度慢、估計(jì)精度低等問(wèn)題，本文提出了一種分布式計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣最大特征值的分散功率算法(DPM)，通過(guò)將平均共識(shí)和迭代功率法相結(jié)合，在少量樣本和有限次數(shù)迭代的條件下，實(shí)現(xiàn)了最大特征值的較快收斂速度和較高精度估計(jì)。對(duì)比MECD算法和DST算法，仿真結(jié)果表明，DPM算法在減少信號(hào)樣本數(shù)和迭代次數(shù)，保證較快收斂速度的前提下，可以獲得更高的精度。