預處理最小二乘QR分解法識別橋梁移動荷載的優化分析及試驗研究

陳震 王震 余嶺

摘要： 基于時域內移動荷載識別理論，針對逆問題求解存在的典型不適定性問題，提出采用預處理最小二乘QR分解法（PLSQR）識別橋梁移動荷載。兩軸時變移動荷載數值仿真結果表明：與采用奇異值分解求逆的時域法（TDM）相比，由PLSQR方法識別移動荷載在識別精度、抗噪性能和抗不適定性等方面均有明顯的提高。通過結合改進的Gram-Schmidt正交化，在PLSQR方法基礎上對其迭代效率進行優化，改進的PLSQR方法（i-PLSQR）在保證不降低識別精度的前提下其最優迭代次數有明顯降低，3種噪聲水平下8種工況平均最優迭代次數較原PLSQR方法均減小超過2/3。試驗研究表明i-PLSQR識別結果與真實荷載非常接近，識別精度較傳統TDM有明顯提高，可應用于移動荷載的現場識別。

關鍵詞： 移動荷載識別； 橋梁； 時域法； 預處理最小二乘QR分解法； 優化分析

中圖分類號： TU311.3； U441+.2文獻標志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0545-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.001

引言

橋梁移動荷載識別屬結構動力學逆問題范疇，由橋梁動態響應識別橋面移動荷載已取得較大進展，其中尤以時域法（TDM）[1]和頻時域法（FTDM）[2]識別理論完備、識別精度較高而備受關注[3]。Chan等[4]指出，雖然通過奇異值分解（SVD）可有效提高TDM識別精度，但由于逆問題自身的不適定性，識別結果仍對噪聲敏感且存在較大波動[59]。近年來，相關學者已提出許多新的方法來克服和解決這一頑固問題，且識別精度較傳統方法有較大改進[1013]。識別精度和識別效率是逆問題識別的兩大核心問題，在保證識別精度的前提下，如何高效、快速地識別移動荷載也是評價移動荷載識別方法經濟性和現場適用性的關鍵因素。

現有移動荷載識別方法大多側重于提高識別精度，本文擬通過迭代優化分析得到同時具有高精度和高效率的移動荷載識別方法。在TDM識別方法的基礎上，提出采用預處理最小二乘QR分解法（PLSQR）識別橋梁移動荷載，并結合改進的GramSchmidt正交化對新方法進行迭代優化分析以期提高新方法的迭代效率，節約識別成本。數值模擬結果表明：與采用SVD求解的TDM方法相比，由PLSQR方法識別移動荷載在識別精度、抗噪性能、抗不適定性等方面較傳統方法均有明顯的提高。迭代優化后的預處理最小二乘QR分解法（iPLSQR）在保證不降低原方法識別精度的前提下可有效降低其迭代次數、提高識別效率，這為新方法的實際應用奠定了良好的基礎。為了驗證本文方法的可行性與有效性，文末給出試驗驗證。

1理論背景1.1時域法識別移動荷載以EulerBernoulli梁為例，梁長為L，單位長度質量為ρ，抗彎剛度為EI，黏性阻尼為C，假設速度為c的動荷載P自梁左端向右端移動，模型簡圖如圖1所示。

當測得車輛荷載作用下橋梁的彎矩響應或加速度響應后，TDM移動荷載識別理論即可轉化為系統方程求解問題AN×NBxNB×1=bN×1（4）式中A為車橋模型系統矩陣，b為測得的橋梁響應，x為待識別的移動荷載，下標N為測點響應數，NB=L/（cΔt）為采樣樣本數。

1.2最小二乘QR分解法（LSQR）

1982年Paige和Saunders提出LSQR算法[14]，LSQR算法是典型的迭代算法，首先將任意系數矩陣方程轉化為系數矩陣為方陣的方程，然后利用Lanczos方法求解方程的最小二乘解。LSQR非常適用于大型稀疏矩陣的求解，由于其優良的算法特性，已在噪聲主動控制領域取得良好的噪聲控制效果[15]。

在求解車橋系統方程Ax=b（A∈Rm×n，x∈Rn×1，b∈Rm×1）最小二乘問題minAx-b2時，通過k次迭代求得殘差范數rk2最小的解即為最優解。本文不再贅述常規LSQR算法及Lanczos對角化方法，重點詳述針對LSQR方法的預處理改進及其迭代優化。

1.3預處理LSQR算法（PLSQR）

LSQR算法具有數值穩定、能充分利用矩陣稀疏性減少計算量等優點，但在移動荷載識別領域，由于逆問題識別存在的典型不適定性特征，需對其改進以提高其抗不適定性。Jacobsen等[16]提出通過引入正則化方法可有效提高LSQR算法的抗不適定性。

1.4改進的GramSchmidt正交化

在對車橋系統矩陣進行QR分解時，需采用GramSchmidt正交化方法。GramSchmidt正交化即利用投影矩陣在已有正交基基礎上構造一個新的正交基，但當車橋系統矩陣A為病態矩陣時，通過傳統GramSchmidt正交化得到的Q矩陣列向量會由于舍入誤差而喪失正交性。Dax[17]提出改進的GramSchmidt正交化方法，有效避免了舍入誤差的影響，尤其在求解欠秩最小二乘問題時較傳統GramSchmidt正交化具有明顯優勢。

為m行n列系統矩陣A構造m×n正交矩陣Q和n×n上三角矩陣R，其QR分解可表示為A=QR（9）傳統GramSchmidt正交化只需保證式（9）滿足如下邊界條件A-QR2≤γεA2（10）式中γ為與系統矩陣行數m和列數n有關的常數，ε表示計算精度限制條件。假定系數矩陣A的奇異值滿足σ1≥σ2≥…≥σn>0，當σ1/σn1/ε時，此時僅由邊界條件（10）無法保證Q矩陣的正交性。改進的GramSchmidt方法通過引入如下附加邊界條件可有效解決這一問題I-QTQ2≤γεσ1σn（11）式中I為單位矩陣。對于存在明顯不適定性的移動荷載識別問題，引入改進的GramSchmidt方法可有效保證計算結果的穩定性，進而提高移動荷載識別效率。

2數值模擬

以圖1模型為例，車輛模型參數如下：兩軸車輛軸距ls=8 m，行駛速度c=40 m/s。橋梁的抗彎剛度EI=1.28×1011 N·m2，梁長L=40 m，前3階固有頻率分別為：f1=3.2 Hz，f2=12.8 Hz，f3=28.8 Hz，測量橋梁的加速度響應和彎矩響應的采樣頻率為200 Hz，分析頻段取0～40 Hz。

表1列出了8種組合工況下TDM，PLSQR和iPLSQR在1%，5%和10%共3種噪聲水平下的識別誤差。表中‘m為測量彎矩響應，‘a為測量加速度響應，測量響應組合考慮僅由加速度響應識別、僅由彎矩響應識別和由組合響應識別移動荷載3種情況；‘14，‘12和‘34分別表示測點位于橋梁14，12和34橋跨處；表中正體數據為采用SVD求解后TDM識別誤差，斜體數據為PLSQR方法識別誤差，帶下劃線數據為iPLSQR方法識別誤差，符號‘*表示識別誤差超出允許誤差限值100%，此時識別結果不可接受。

由表1可知，隨著噪聲水平增大，TDM識別誤差迅速增加，當噪聲水平達到10%時，8種識別工況中僅有1種工況識別結果可以接受。PLSQR和iPLSQR識別誤差隨噪聲水平增加略有增加，識別方法表現出顯著的抗噪性能，且所有工況的識別誤差均小于30%，其中有7種工況的識別誤差均小于15%，識別精度較TDM有明顯提高。

同時，由表1數據可知，TDM識別誤差受測量響應組合影響較大，識別精度隨測點數量增加而增加，尤其是當響應組合中包含較多加速度響應時識別精度增加明顯，當僅由彎矩響應識別移動荷載時其識別精度最差，即TDM識別結果受響應類型和響應數量影響顯著。PLSQR和iPLSQR識別方法在8種響應組合工況中均呈現出良好的識別效果，識別精度受測點類型和數量變化影響很小，具有良好的測點適應性。

圖2比較了10%噪聲水平下TDM，PLSQR與iPLSQR由含有較多高頻信息的加速度響應（對應表1中工況1）識別橋梁移動荷載結果；圖3比較了5%噪聲水平下3種識別方法由組合響應（工況3）識別橋梁移動荷載結果；圖4比較了1%噪聲水平下3種識別方法由含有較多低頻信息的彎矩響應（工況8）識別橋梁移動荷載結果。

由圖2可知，當僅由加速度響應識別移動荷載且加速度測點較多時，即使噪聲水平達到10%，TDM，PLSQR與iPLSQR仍具有很高的識別精度。但仍需注意當車輛荷載前軸下橋和后軸上橋的特定時刻，TDM識別結果與真實荷載仍有一定差異，存在著局部波動情況，這種局部波動在圖3和4中更為明顯，呈現出逆問題識別具有的典型不適定特征。車橋系統矩陣存在的不適定性不僅會直接導致某一時刻識別誤差畸大，降低識別方法的識別精度，甚至會影響該識別方法的適用性直至無法識別橋梁移動荷載（如圖4中TDM識別結果）。TDM采用SVD降噪具有一定的效果，但針對存在不適定性的逆問題識別時仍有較大缺陷，文獻[7]也采用SVD降噪識別雙軸移動荷載，其數值模擬結論與本文完全一致。

由表1和圖2～4中識別結果可知，PLSQR和iPLSQR識別精度差異很小，兩種方法均具有顯著的抗不適定性，識別荷載在車輛行駛的全時段均與真實荷載非常接近，且識別精度受測點類型及噪聲干擾小。與此相比，TDM方法識別精度具有明顯的測點類型依賴性，當僅由彎矩響應識別移動荷載時，盡管噪聲水平僅為1%，TDM識別精度仍然很差（圖4）；但當僅由加速度響應識別移動荷載時，雖然噪聲水平達到10%，TDM仍具有非常高的識別精度（圖2）。

圖5結果表明，兩種方法最優迭代次數均隨噪聲水平增加而減小，且iPLSQR在迭代過程中更快到達最優解，其最優迭代次數較PLSQR顯著減小。由理論推導可知，通過將傳統LSQR方法進行預處理得到的PLSQR與iPLSQR方法是典型的雜交方法，即迭代系數 k 值的選取也包含了系統矩陣截斷誤差的選取信息。隨著噪聲水平的增加，測量橋梁響應中誤差信號也增多，因此需要截斷的誤差信號也隨之增加，而 k 值越小就代表實際識別過程中采用的真實響應數據越少，即測量橋梁響應中需要截斷的誤差信號越多。反之，如果選取的 k 越大，系統矩陣中包含的噪聲干擾信號越多，則PLSQR與iPLSQR的識別誤差將隨之增加。

圖6結果表明，在1%噪聲水平下，8種工況iPLSQR平均最優迭代次數較PLSQR降低91%，在5%噪聲水平下，iPLSQR平均最優迭代次數較PLSQR降低75%，在10%噪聲水平下，iPLSQR平均最優迭代次數較PLSQR降低67%。iPLSQR通過引入改進的GramSchmidt算法，保證了正交矩陣Q的正交性，避免其受舍入誤差的影響，有效提高了移動荷載識別效率。在現場移動荷載識別過程中，實際的車橋系統矩陣必將非常龐大，通過降低迭代次數可有效減少識別移動荷載所需時間。

3試驗驗證

車橋模型試驗由余嶺教授在暨南大學重大工程災害與控制教育部重點實驗室指導進行，試驗數據采用文獻[9]中相關數據，簡化車橋模型及試驗布置如圖7所示。

采用本文提出的iPLSQR方法由實測橋梁12m，34m，12a 和 34a響應識別橋面移動車載，并將該識別結果與TDM（SVD）方法識別結果進行比較，車輛前后軸和總重識別結果及識別誤差如表2所示，符號‘*表示識別誤差超出允許誤差限值100%。識別荷載時程曲線如圖8所示。

由表2和圖8結果可知，iPLSQR識別結果與真實荷載非常接近，最大誤差僅為3.12%，TDM（SVD）識別結果與真實值偏差較大，前后軸識別誤差均超過100%，識別結果不可接受。由iPLSQR識別荷載重建橋梁34橋跨處彎矩響應和加速度響應如圖9所示，圖中重建響應和實測響應也非常接近，這也說明iPLSQR在識別橋面移動荷載時具有良好的識別精度和實用價值。

4結論

本文基于移動荷載時域識別理論，提出采用PLSQR方法識別橋梁移動荷載，分別采用數值分析和試驗驗證評價新方法的識別精度。研究結論如下：

1）PLSQR在識別精度、抗噪性能、測點適應性和抗不適定性等方面均較傳統TDM方法有明顯的提高。同時，新方法的識別效率與迭代次數的選取直接相關，對新方法進行迭代優化是提高其識別效率及節約現場移動荷載識別成本的關鍵。

2）通過結合GramSchmidt正交化對PLSQR方法迭代效率進行改進，改進后的iPLSQR方法在保證識別精度和PLSQR基本一致的前提下實現了更高效的識別橋梁移動荷載，3種噪聲水平下8種工況平均最優迭代次數較PLSQR方法均減小超過23。

3）試驗結果表明，采用iPLSQR方法識別的橋面移動荷載與真實荷載非常接近，其識別的前軸、后軸及總重荷載均在真實荷載附近微小波動，最大識別誤差僅為3.12%，較TDM試驗識別精度有顯著提高。

本文通過提出移動荷載識別新方法并對其迭代效率進行改進，得到改進后的iPLSQR方法，iPLSQR在逆問題識別最關鍵的識別精度和識別效率兩個方面均取得顯著效果，試驗結果也驗證了其良好的識別精度和現場適用性，為有效識別橋面真實移動荷載提供了依據。

參考文獻：

[1]Law S S， Chan T H T， Zeng Q H. Moving force identification： a time domain method[J]. Journal of Sound and Vibration， 1997， 201（1）： 1—22.

[2]Law S S， Chan T H T， Zeng Q H. Moving force identification： a frequencytime domain method[J]. Journal of Dynamic System， Measure Control， 1999， 121： 394—401.

[3]余嶺， 朱軍華， 陳敏中， 等. 基于矩量法的移動荷載識別[J]. 振動工程學報， 2006， 19（4）： 509—513.

Yu Ling， Zhu Junhua， Chen Minzhong， et al. Moving force identification based on method of moments[J]. Journal of Vibration Engineering， 2006， 19（4）： 509—513.

[4]Chan T H T， Ashebo D B. Theoretical study of moving force identification on continuous bridges[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 295： 870—883.

[5]Deng L， Cai C S. Identification of dynamic vehicular axle loads： theory and simulations[J]. Journal of Vibration and Control， 2010， 16（14）： 2167—2194.

[6]Liu J， Sun X S， Han X. A novel computational inverse technique for load identification using the shape function method of moving least square fitting[J]. Computers and Structures， 2014， 144： 127—137.

[7]Yu L， Chan T H T， Zhu J H. A MOMbased algorithm for moving force identification： Part Itheory and numerical simulation[J]. Structural Engineering and Mechanics， 2008， 29（2）： 135—154.

[8]Chen Z， Chan T H T. A truncated generalized singular value decomposition algorithm for moving force identification with illposed problems[J]. Journal of Sound and Vibration， 2017， 401： 297—310.

[9]Pan C D， Yu L， Liu H L， et al. Moving force identification based on redundant concatenated dictionary and weighted l1norm regularization[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2018， 98： 32—49.

[10]Li Z， Feng Z P， Chu F L. A load identification method based on wavelet multiresolution analysis[J]. Journal of Sound and Vibration，2014，333：381—391.

[11]Xu X， Ou J P. Force identification of dynamic systems using virtual work principle[J]. Journal of Sound and Vibration， 2015， 337： 71—94.

[12]Qiao B J， Zhang X W， Luo X J， et al. A force identification method using cubic Bspline scaling functions[J]. Journal of Sound and Vibration， 2015， 337： 28—44.

[13]Chen Z C， Li H， Bao Y Q. Identification of spatiotemporal distribution of vehicle loads on longspan bridges using computer vision technology[J]. Structural Control and Health Monitoring， 2016， 23（3）： 517—534.

[14]Paige C C， Saunders M A. LSQR： An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares[J]. ACM Transactions on Mathematical Software， 1982， 8： 43—71.

[15]寧少武， 史治宇. QR分解的最小二乘格型自適應濾波算法在噪聲主動控制中的應用[J]. 振動工程學報， 2013， 26（3）： 363—373.

Ning Shaowu， Shi Zhiyu. QR decompositionbased least squares lattice adaptive filter algorithms for active noise control [J]. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（3）： 363—373.

[16]Jacobsen M， Hansen P C， Saunders M A. Subspace preconditioned LSQR for discrete illposed problems[J]. BIT Numerical Mathematics， 2003， 43： 975—989.

[17]Dax A. A modified GramSchmidt algorithm with iterative orthogonalization and column pivoting[J]. Linear Algebra and its Applications， 2000， 310： 25—42.

Abstract： Based on the theory of moving force identification in time domain， a preconditioned least square QRfactorization （PLSQR） algorithm is developed to overcome the typical illposed problem existing in inverse problems. A comprehensive numerical simulation is set up based on a beam model with biaxial timevarying forces to evaluate PLSQR by comparing this technique with the conventional counterpart SVD embedded in the time domain method （TDM）. Investigations show that the PLSQR has higher precision， more noise immunity and less sensitive to perturbations with the illposed problems compared with TDM. By combining the improved GramSchmidt with iterative orthogonalization， iterative optimization analysis of PLSQR is carried out. Results indicate that the improved PLSQR（iPLSQR） can more quickly and effectively identify the moving load on bridge without sacrificing the identification accuracy compared with the PLSQR， and the average optimal numbers of iterations reduce by at least two thirds in eight cases with three noise levels. The experimental results show that the identified force obtained from the iPLSQR is very close to the true force and the identification accuracy is significantly higher than traditional TDM， which can be applied to the field moving force identification. The study results have important reference for the research of inverse problems identification of structural dynamics.

Key words： moving force identification； bridge； time domain method； preconditioned least square QRfactorization； optimization analysis