對膜簧片型汽笛頻率影響因素的研究

馮艦銳 陳 聰 吳秀文 董愛國

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京)，北京 100083)

汽笛是一種氣動裝置，旨在產(chǎn)生一種非常大的聲音，起到警示的作用。它通常由一個產(chǎn)生壓縮空氣的源組成，通過把空氣壓入簧片或膜，再進(jìn)入一個噴管，空氣氣流使簧片或薄膜振動，從而產(chǎn)生聲波[1]。

手按式汽笛由于音量大而且攜帶方便，也常被用來作為運(yùn)動競賽或集會游行的造勢器材。使用高壓瓶或壓縮機(jī)的空氣喇叭音量更大，一般作為鐵路機(jī)車，貨車的安全警示裝置[2]。但是，目前的汽笛發(fā)聲部位主要由硬質(zhì)金屬簧片組成[3]，且出于本質(zhì)安全的需要，其頻率集中在較高的范圍，音色不夠友善。在其他應(yīng)用中，例如機(jī)車鳴笛噪聲，在距軌道5m處，其聲壓級達(dá)到120dB之高。鳴笛聲的頻率成分主要在500～2000Hz的范圍內(nèi)，它恰好與人的語言頻率相重，因此對人具有強(qiáng)烈的干擾性和煩躁影響[4]，并且該噪聲對人體最直接的危害是對聽覺器官的損害?；谠搯栴}，拓寬汽笛的聲音頻域范圍具有重要實(shí)際應(yīng)用價值。

膜簧片汽笛發(fā)聲主要是由薄膜的一階振動與空氣柱內(nèi)的空氣振動發(fā)聲引起，目前，國內(nèi)外的研究主要集中在簧片的振動[5，6]與聲音的激發(fā)[7]，而綜合考慮薄膜與空氣柱同時振動對聲音頻率影響的理論與實(shí)驗(yàn)研究鮮見報道。在本研究中，汽笛內(nèi)簧片由通常的硬質(zhì)簧片改為軟質(zhì)橡膠膜，減少金屬制品損耗的同時，拓寬汽笛所能達(dá)到的頻域范圍。該項(xiàng)改進(jìn)對提高汽笛的性能、壽命和可靠性等有重要作用。

1 振動模型

1.1 薄膜振動模型

在聲學(xué)上，圓形薄膜上一點(diǎn)自由振動的動力學(xué)方程為[8]

(1)

其中，z(m)是薄膜上一點(diǎn)離開平衡位置的垂直薄膜面方向的位移；r(m)是薄膜上一點(diǎn)到圓心的距離；σ(kg/m2)是薄膜的面密度；T(N/m)為薄膜的張力。方程(1)的解為零階貝塞爾函數(shù)

(2)

根據(jù)膜邊界振動位移為零，即zRcon,t=0，代入公式(2)，得到

(3)

由公式(3)的第一個正根得到

(4)

其中，x01為零階柱貝塞爾函數(shù)J0x的第一個正根；Rcon(m)是薄膜的半徑或共振腔的半徑。

當(dāng)插入的管子貼靠在薄膜的正中間時，圓形薄膜上某點(diǎn)的振動動力學(xué)方程為

(5)

其中，z，r和T同上；σc(kg/m2)是薄膜等效面密度；p(Pa)為腔體內(nèi)壓強(qiáng)；p0(Pa)為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。由于空氣造成的附加質(zhì)量mα在薄膜上均勻分布，為方便求解，定義σc滿足如下公式[9,10]

πR2σ+mα=πR2σc

(6)

由于腔體內(nèi)壓強(qiáng)受充氣速率、薄膜性質(zhì)等因素影響，并且與上一時刻的氣體狀態(tài)亦有關(guān)系，所以無法精確給出壓強(qiáng)對于時間的函數(shù)關(guān)系。

由于薄膜凸起的體積相對整個汽笛體積極小，故可忽略管內(nèi)氣體體積的變化。由質(zhì)量守恒定律和理想氣體狀態(tài)方程，可得汽笛腔內(nèi)氣體質(zhì)量對時間t的微分等于進(jìn)出管子內(nèi)部的氣體質(zhì)量流速變化

(7)

其中，Qin(kg/s)是進(jìn)氣質(zhì)量流速；Qout(kg/s)是出氣質(zhì)量流速；mintube(kg)是在管子內(nèi)的氣體質(zhì)量。

此外，出氣質(zhì)量流速與流速的關(guān)系如下式

Qout=ρSinc

(8)

其中，ρ(g/cm3)是氣體密度；Sin(m2)是氣體流動截面的截面積；c(m/s)是氣體速率。

一般情況下，由于頻率為每秒幾十至幾百赫茲，即空氣的一個振動周期時間很短，因此進(jìn)氣過程可視為絕熱流動。式(9)是將氣體的密度與溫度和壓強(qiáng)聯(lián)系起來的物態(tài)方程

ρ=MpT-1R-1

(9)

其中，M(g/mol)為空氣摩爾質(zhì)量;R(8.314J/(K·mol))是理想氣體常數(shù);T(K)是汽笛內(nèi)空氣的溫度。式(10)是絕熱條件下的噴管流速公式[11]

(10)

其中，比熱容比γ=Cp/Cv;p0(Pa)為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。

由式(7)，式(8)，式(9)和式(10)聯(lián)立求解，并依據(jù)理想氣體狀態(tài)方程得到

(11)

其中，L(m)是管子的長度;Rtube(m)是管子半徑;Mmol是空氣的平均摩爾質(zhì)量(29g/mol)。

圖1 膜簧片型汽笛結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 膜的部分振型(a) x01零階柱貝塞爾函數(shù)的第一個根對應(yīng)的膜的形狀； (b) x02零階柱貝塞爾函數(shù)的第二個根對應(yīng)的膜的形狀； (c) x11一階柱貝塞爾函數(shù)的第一個根對應(yīng)的膜的形狀

式(11)具有柱貝塞爾函數(shù)的特征。用Matlab可解出周期函數(shù)p(t)的數(shù)值解確定周期(圖1)。由式(11)可見，當(dāng)進(jìn)氣質(zhì)量流速增大時，膜通氣時的振動頻率減小，且通氣時振動頻率比固有頻率低。

1.2 管子內(nèi)空氣柱振動模型

聲音傳出不僅通過振膜左側(cè)直接帶動空氣中的傳播，右側(cè)則通過插入的管道中的空氣振動進(jìn)行傳播。聲音在管道內(nèi)傳播的柱坐標(biāo)波動方程為[3]

(12)

其中，p(Pa)是聲壓;r(m)是某點(diǎn)與管子軸線的距離;θ(rad)是該點(diǎn)的方向;z(m)是該點(diǎn)距離膜側(cè)管口的距離;vvoice(m/s)是氣體的速度。式(12)的解為[12]

pm=AmJmkrrcosmθ-φmexpjωt-kzz

(13)

當(dāng)聲源關(guān)于軸對稱時，會產(chǎn)生造成膜振動頻率突變的截止頻率，其上界數(shù)值可以通過下面經(jīng)驗(yàn)公式(14)得到

(14)

2 實(shí)驗(yàn)部分

在實(shí)驗(yàn)中，通過改變氣球皮面密度、管子長度與半徑、共振腔半徑，以及進(jìn)氣速率探究其對聲音基頻的影響。為了控制實(shí)驗(yàn)變量，通過改變閥門的大小控制進(jìn)氣速率。

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

本實(shí)驗(yàn)所用的膜簧片型汽笛是由PVC硬管，氣球皮和KT板搭建而成(圖1)。采用捷豹OLF-2524空氣壓縮機(jī)(額定排氣壓力為0.7MPa)來模擬人口吹氣，該方式也是實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)參數(shù)的定量化要求。測量壓強(qiáng)的設(shè)備為EDIS-GPS200。

2.2 聲音信號的采集與分析方法

使用SHURE MV51數(shù)字麥克風(fēng)與iPhone手機(jī)對聲音信號進(jìn)行采集[11]。聲音信號的分析方法是采用Matlab對采集到的聲音信號進(jìn)行頻域解析，并在解析前首先用Matlab 降噪工具箱對聲音信號進(jìn)行降噪處理。由于薄膜的頻率無法直接通過儀器測量得到，所以用薄膜產(chǎn)生的空氣振動頻率代替。

3 結(jié)果與討論

圖3 汽笛腔內(nèi)壓強(qiáng)隨時間的變化關(guān)系

圖4 薄膜振動頻率與薄膜面密度的關(guān)系

圖3是膜簧片型汽笛腔內(nèi)壓強(qiáng)即共振腔內(nèi)部的壓強(qiáng)隨時間變化的關(guān)系曲線。由圖3可見，腔內(nèi)壓強(qiáng)隨時間作周期性變化。在0～16ms內(nèi)，腔內(nèi)氣體壓強(qiáng)介于92.4kPa～92.8kPa范圍內(nèi)變化，其變化差值為0.4kPa?？梢钥闯?，腔內(nèi)氣體壓強(qiáng)的變化范圍在±0.43%，壓強(qiáng)可以看作基本不變，其與振膜的頻率一致。

圖4是薄膜振動頻率與薄膜面密度的關(guān)系。由圖4可見，隨著薄膜面密度從4mg/cm2增加到41mg/cm2時，膜振動頻率從243Hz減小到78Hz，分別對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行二次非線性擬合得到

其中，f固(Hz)是薄膜固有振動頻率;f受(Hz)是氣體激勵下的薄膜振動頻率;σ(mg/m2)是薄膜面密度;用R2表示擬合優(yōu)度，R2的值越接近1，說明回歸直線對觀測值的擬合程度越好。由于薄膜振動可以等效為在薄膜中心附加一個重物，而薄膜的面密度增大時，這個等效重物的質(zhì)量也增大。根據(jù)阻尼振動方程

(17)

圖5是薄膜振動頻率與共振腔半徑的關(guān)系。當(dāng)共振腔半徑由2cm增大到7cm時，氣體激勵下的薄膜振動頻率從168Hz減小到47Hz，分別對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合后得到關(guān)系式為

圖5 薄膜振動頻率與共振腔半徑的關(guān)系

該結(jié)果說明，當(dāng)Rcon=2Rtube時，共振腔半徑對薄膜振動基頻的影響，隨著共振腔的半徑增加，薄膜振動的固有頻率和氣體激勵下的薄膜振動頻率都下降。該結(jié)果與理論分析的式(4)和式(5)的結(jié)果相吻合。另一方面，在一維振動的情況下，共振腔的半徑可以等效為振動表面的波長，當(dāng)共振腔的半徑增大時，等效波長也增大。由于擾動在薄膜上的傳播速率不變，當(dāng)共振腔的半徑增大時，氣體激勵下的薄膜振動頻率減小。

圖6 實(shí)際測量的振動頻率與管子長度的關(guān)系(共振腔的長度為10cm)

圖6是實(shí)際測量的振動頻率與管子長度的關(guān)系。當(dāng)管子的長度由0.12m增加到0.18m時，實(shí)際測量的振動頻率在211～243Hz之間波動；但是，當(dāng)管子長度由0.4m增加到1.40m時，實(shí)際測量的振動頻率從294Hz減小到116Hz。實(shí)驗(yàn)得到的趨勢與理論分析的公式(4)相吻合。對管子長度由0.4m變化到1.40m范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合后得到的關(guān)系式為

(20)

在一維振動的情況下，管子的長度可以等效為管子內(nèi)基頻的波長，當(dāng)管子的長度增大時，基頻的波長也增大。由于空氣中波的傳播速率不變，當(dāng)管子的長度增大時，雖然氣體激勵下的薄膜振動頻率不變，但是，聲音的傳播通過管子，兩種振動的波耦合對外表現(xiàn)為實(shí)際測量的振動頻率減小。雜亂的點(diǎn)表示在l從0.12～0.18m時f基本不變，所以沒有進(jìn)行擬合，這個時候主要是空氣柱振動發(fā)聲。在氣體從汽笛腔體內(nèi)進(jìn)入管道時，與管口摩擦形成頻率有一定連續(xù)寬度的邊棱音，邊棱音激發(fā)管道內(nèi)氣柱形成耦合共振，聲音的頻率會限制在管子內(nèi)空氣中振動的基頻，所以基本不變，但是由于測量誤差會有波動。

圖7是氣體激勵下的薄膜振動頻率與管子半徑的關(guān)系。在Rcon=0.02m的條件下，當(dāng)管子半徑RTube由0.40cm增大到1.0cm時，氣體激勵下的薄膜振動頻率從330Hz減小到317Hz，呈現(xiàn)反比關(guān)系，與理論部分的式(11)結(jié)果相吻合。經(jīng)過非線性擬合后得到的關(guān)系式為

(21)

圖7 氣體激勵下的薄膜振動頻率與管子半徑的關(guān)系

圖8 氣體激勵下的膜振動頻率與進(jìn)氣速率的關(guān)系

圖8是氣體激勵下的薄膜振動頻率與進(jìn)氣速率的關(guān)系。由圖8可以看出，當(dāng)進(jìn)氣速率在0.4g/s以下及2g/s以上時，采集不到聲音; 而當(dāng)進(jìn)氣速率從0.4g/s增大到1.2g/s時，聲音信號的頻率從146Hz減小到95Hz，對進(jìn)氣速率由0.4g/s增大到1.2g/s范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合后得到關(guān)系式為

(22)

當(dāng)進(jìn)氣速率增大時，氣體作用在薄膜上的沖量增加，導(dǎo)致薄膜的振動幅度增大，聲音信號頻率減?。涣硪环矫?，由于管內(nèi)部的體積可以認(rèn)為近似不變，進(jìn)氣速率增大必然導(dǎo)致薄膜附近的氣體壓強(qiáng)增大，氣體密度增大，附加質(zhì)量增大，從而導(dǎo)致聲音信號的頻率減小。此外，進(jìn)氣速率在1.2～1.4g/s之間時，聲音信號的頻率存在斷層，即從95Hz躍變到56Hz，并且該現(xiàn)象重復(fù)性良好，與理論部分的式(14)相吻合。當(dāng)邊棱音接近二倍基頻時空氣柱振動頻率發(fā)生躍變。在本實(shí)驗(yàn)室所能達(dá)到的條件下，影響聲音信號頻率的部件排序?yàn)榭諝庵?薄膜。

由于膜振動與空氣柱振動都是主要聲源，當(dāng)質(zhì)量流速Q(mào)增加時，頻率下降，音色改變，當(dāng)空氣柱發(fā)聲消失時，頻率有向低的一次突變的趨勢。當(dāng)薄膜離開管口，在管口附近會出現(xiàn)激波。間斷面迅速坍塌產(chǎn)生頻率極高的聲波，但是，這部分聲波會被管道抑制。由于音色主要由高階的振動決定，并且在管道傳聲的過程中，聲音的高頻部分被抑制，所以管道在傳聲過程中對音色有影響。

4 主要結(jié)論

本文解決了基于膜簧片的新型汽笛的頻率的影響因素，并且依據(jù)理論模型與實(shí)驗(yàn)之間的對比，驗(yàn)證了簡化模型的正確性。根據(jù)理論模型和得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，改善了汽笛性能。理論公式中，壓強(qiáng)關(guān)于時間的表達(dá)式無法求解析解和數(shù)值解，但能給出變化趨勢。對于薄膜而言，當(dāng)薄膜半徑減小，面密度減小，膜張力增大時，聲音信號的頻率也增大；對于空氣柱而言，當(dāng)管子長度和半徑增大，聲速減小時，聲音信號的頻率卻減小。但是，半徑的影響不是由于它是聲源，而是它抑制高頻的截止頻率的變化和它引發(fā)的聲速變化的共同作用?？傮w來看，整體的基頻為膜和空氣柱的基頻交替作用，同時管道傳聲對高頻部分的抑制作用還會改變音色，提高汽笛的性能。