基礎實驗題B:線性及非線性LC振蕩電路

王思慧,范文凱,江洪建,萬建國

(南京大學 a.物理學院；b.匡亞明學院，江蘇 南京 210093)

第4屆全國大學生物理實驗競賽基礎性實驗試題B為“線性及非線性LC振蕩電路”. 試題第1部分涉及線性電路的暫態(tài)及穩(wěn)態(tài)性質，包括LR，RC及RLC電路，是大學物理及大學物理實驗的常規(guī)內容[1-3]. 這一部分考察基礎知識和實驗能力. 試題第2部分涉及非線性電路，在線性LC振蕩電路基礎上，增加了非線性阻尼器件，要求學生參照線性振蕩電路的性質，初步了解非線性振動的性質. 例如,穩(wěn)態(tài)響應中幅頻特性的共振頻率受到驅動電壓的影響而變化；響應信號不僅存在與驅動信號相同的基頻，也存在倍頻分量等. 這一部分旨在考察學生通過實驗觀察理解概念，探索物理規(guī)律的能力.

1 實驗內容

1.1 實驗器材

數字示波器，信號發(fā)生器(示波器和信號發(fā)生器提供簡要使用說明)，黑盒子(內含1個電感L，1個電容C，1個非線性器件X)，電阻箱1只，導線若干，坐標紙若干張. 黑盒子示意圖見圖1.

圖1 黑盒子示意圖

1.2 RLC振蕩電路(電路A)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程研究(實驗1)

RC電路、RL電路及RLC電路在物理研究和工程技術方面有廣泛的應用，例如微分電路、積分電路、相移電路和振蕩電路等. 實驗中的RLC諧振電路可以用于觀察線性振動系統(tǒng)的波形、相圖，研究振動系統(tǒng)的幅頻特性、相頻特性等. 此外還考察了利用數字示波器觀測電信號的波形，測量頻率、幅值以及相位差的方法.

RLC串聯(lián)電路暫態(tài)過程的方程為[3]

(1)

(2)

(3)

(4)

該部分實驗需要學生完成以下內容：

1)判斷本實驗所提供的器件的種類(L或者C以及非線性器件X)，并測量線性器件的參量.

2)RLC暫態(tài)過程. 搭建RLC串聯(lián)電路，畫出電路圖. 選取適當的信號源輸出波形、電壓和頻率. 用示波器觀察阻尼振蕩、過阻尼振蕩和臨界阻尼振蕩的uC-t圖形，分別記錄對應的電阻箱的阻值R0. 設定電阻箱的阻值R0為0及100 Ω，測量在阻尼振蕩時電路的總電阻R、振蕩周期T、時間常量τ以及品質因數Q值. 用示波器觀察并在坐標紙上定性描繪阻尼振蕩情況下的“相圖”(即電流和電量的近似關系圖像).

1.3 非線性LC振蕩電路(電路B)的研究(實驗2)

將器件X串聯(lián)接入電路A，形成非線性振蕩電路B.

1)研究電路B的暫態(tài)以及穩(wěn)態(tài)性質. 參照RLC暫態(tài)過程的性質，研究電路B的暫態(tài)過程. 用示波器顯示該電路中電容電壓uC與時間t的關系曲線，并在坐標紙上描繪示波器所顯示的圖像. 用示波器觀察并在坐標紙上定性描繪該電路的“相圖”(即電流和電量的近似關系圖像). 與電路A的暫態(tài)性質相比較，說明電路B有何不同.

2)參照RLC穩(wěn)態(tài)過程的性質，研究電路B的穩(wěn)態(tài)過程. 自擬實驗步驟和測量內容，觀察電路B的幅頻特性(uC-f). 研究共振頻率與什么參量有關，并將結果記錄在坐標紙上. 在此基礎上，說明與電路A的幅頻特性有何不同. 利用示波器的Math-FFT功能可以獲得響應信號uC的頻譜，研究電路的非線性諧振特性，觀察并說明頻譜有什么特征？研究這些特征與哪些參量有關？

2 參考解答與競賽結果分析

2.1 RLC振蕩電路(電路A)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程研究

2.1.1 實驗所提供的器件

1，2，3分別為C，L和X(參量略). 器件種類的判斷和參量測量涉及LR，RC及RLC電路的暫態(tài)或穩(wěn)態(tài)性質[1-3]，可以有多種方法，在此不限制解答方法，只要求得到結果.

混凝土澆搗后，先按設計標高用2 m刮尺刮平，混凝土收水并開始初凝時，用木抹子進行抹壓，將面層的小凹坑、氣泡眼、砂眼和腳印等壓平。在混凝土終凝前再進行二次抹面，用木抹子找平，搓磨2～3次，以提高混凝土的表層密度，消除收縮裂縫及混凝土表面的其他痕跡，形成最終的混凝土面。

2.1.2RLC暫態(tài)過程

1)搭建RLC串聯(lián)電路，如圖2所示. 信號源輸出用低頻方波信號(如方波頻率200 Hz,Upp=5 V)，調整電阻箱的阻值，可以觀察并記錄RRC的過阻尼以及R=RC的臨界阻尼振蕩圖像.

圖2 RLC串聯(lián)電路

3)為了得到阻尼振蕩的“相圖”，即電流和電量的近似關系圖像，理論上可以用電阻上的電壓UR(正比于電流)以及電容上電壓UC(正比于電量)的圖像來描述. 信號依然是低頻方波. 實驗中由于示波器2個通道以及信號源共地，無法直接獲得UR和UC. 將圖2中的R與C調換位置，并且使電阻箱阻值設為很小(幾Ω，遠小于電容器阻抗)，示波器通道1跨接在UR和UC兩端，忽略UR之后，近似當作UC的值；通道2測量UR的值，利用示波器的X-Y模式，則可以定性觀察相圖. 圖像略，示意圖見文獻[4].

2.1.3RLC穩(wěn)態(tài)過程

1)測量幅頻特性曲線電路圖如圖2所示. 信號源輸出正弦信號，設定電阻箱的阻值R0，測量增益(uC/uin，uin指輸入電壓)與信號頻率的關系，記錄實驗數據，并將結果作圖，見圖3.

2)根據幅頻特性曲線結果以及題干的提示，可以求共振頻率f0以及品質因數Q.

圖3 幅頻特性曲線

2.2 非線性LC振蕩電路

2.2.1 暫態(tài)過程

器件X是1對反向并聯(lián)的二極管，在電路中作為非線性阻尼器件. 將器件X串聯(lián)接入電路A，形成非線性振蕩電路B， 如圖4所示. 信號源輸出仍采用低頻方波信號. 實驗方法參考RLC暫態(tài)過程，原理參考文獻[4-5].

圖4 非線性LC振蕩電路

1)使電阻箱阻值設為很小，則示波器通道1顯示uC與時間t關系曲線，示意圖見圖5.

2)根據圖4電路，示波器的X-Y模式近似地顯示“相圖”，示意圖見圖6.

圖5 uC與時間t關系曲線

圖6 非線性LC振蕩電路的相圖

3)與電路A的暫態(tài)性質相比較，電路B有以下幾點不同：暫態(tài)過程起振電壓需要達到一定閾值；振蕩次數為有限的幾次(振幅幾乎是線性衰減)；存在欠阻尼到過阻尼的轉換，即某一時間點之后信號單調衰減，不再往復振蕩；電容器電壓存在最終無法衰減到零的情況.

2.2.2 穩(wěn)態(tài)過程

實驗方法參考前面RLC穩(wěn)態(tài)過程，實驗原理參考文獻[5].

1)幅頻特性曲線見圖7. 與電路A相比較，電路B有以下不同：信號源驅動電壓較大時共振峰頻率幾乎不變，而后隨著驅動信號電壓減小共振頻率先是減小，最后共振峰消失. 而線性共振頻率與驅動電壓大小無關. 也可以測量共振峰頻率與驅動信號電壓的關系，見圖8. 此外增益也隨驅動信號電壓減小而減小.

2)非線性諧振：利用示波器的FFT容易觀察響應信號uC的頻譜(圖略). 當信號源輸出頻率f時，頻譜中存在f以及3f，5f等倍頻諧振. 可以觀察頻譜的基頻和3倍頻振幅對于驅動頻率以及振幅的響應. 穩(wěn)態(tài)響應也存在起振閾值，基頻振幅對信號源輸出電壓振幅敏感，倍頻振幅則不敏感.

圖7 電路B的幅頻特性曲線

3 評 論

在判斷元器件部分，有17位考生申請了提示卡，均分只有3.79分，15位考生得0分. 這反映了實驗基礎知識尚有待加強.

在RLC暫態(tài)過程部分. 均分6.6分，1人滿分，1人0分，得分情況好于第1小題. 這一部分考察阻尼振蕩、臨界阻尼、過阻尼現象，以及測量時間常量τ、品質因數Q值等內容，要求基礎知識掌握較好；阻尼振蕩相圖的觀察在掌握基礎知識的基礎上，還有進一步的延伸，因此本題在方法上有所提示. 這一部分個別考生得到滿分，而多數考生表現平平，反映了基礎知識和和應變能力方面的差距.

在RLC穩(wěn)態(tài)過程部分，均分8.39分，2人滿分，10人0分. 考察RLC串聯(lián)諧振電路的幅頻特性，從物理概念到實驗電路均是學生較熟悉的內容，是基礎實驗題B得分率最高的小題，也是多數考生的主要得分項.

非線性LC振蕩電路是多數考生陌生的內容. 因此實驗2對于實驗方法做了提示說明，要求參照線性RLC電路的方法進行對比實驗，初步了解非線性電路的一些性質. 在有限的考試時間內完成這部分實驗要求是相當高的. 這一部分共40分，均分2.63，最高分21分，56人中21人有凈得分. 其中暫態(tài)過程20分，最高分12分；穩(wěn)態(tài)過程20分，最高分9分.

表1是對56名參賽者實驗成績的統(tǒng)計結果. 圖9是按分項和總分的統(tǒng)計結果. 結果顯示，實驗1試題難度適中，區(qū)分度較好，能夠反映考生基本知識和實驗方法的掌握情況. 實驗2注意實驗方法和原理的延伸擴展，試題內容的設計上富有啟發(fā)性，對優(yōu)秀選手有區(qū)分度，并能夠充分反映高水平選手的知識遷移能力和應變能力.

表1 基礎實驗試題B成績統(tǒng)計

(a)實驗1得分

(b)實驗2得分

(c)總分圖9 實驗成績的統(tǒng)計結果

除了作為考題，本實驗還可以作為RLC電路實驗的拓展補充，用于演示線性和非線性振動的基本現象和性質. 例如，用數字示波器顯示線性振子和非線性振子的動力學過程， 使得理論較為抽象的相圖、非線性振動的頻譜等方便地得到展示. 實驗中所用的非線性電路還可以用來模擬干摩擦阻尼作用下的彈性振動系統(tǒng)，簡化了實驗裝置和測量方法，豐富了實驗內容.